【2023年莆田市第三期C++专项第一轮选拔真题(小学组)】数位积 题解

数位积

题目描述

一个数各位数相乘得到的结果称为数位积，输入一个整数n,循环计算其数位积，直到其数位积为个位数时，输出其计算次数

输入格式

第一行 一个整数 n，分别表示初始值；

输出格式

一行 一个整数，表示数位积的计算次数。
样例数据

样例输入 #1

6432

样例输出 #1

3

样例解释

第一次：6432位数积 6*4*3*2=144
第二次：144位数积 1*4*4=16
第三次：16位数积 1*6=6

数据范围

对于 20% 的数据，n%10=0;
对于 40% 的数据，含有且含有n含有2且含有5;
对于 100% 的数据，1≤n≤1015。

解题思路

1. 输入处理：读取用户输入的整数n。
2. 循环计算数位积：
   • 只要n不是个位数（即n/10不为0），就继续计算。
   • 每次计算时，将n的各位数字相乘，得到新的n值。
   • 每次计算后，计数器cnt加1。
3. 输出结果：当n变为个位数时，输出计数器cnt的值。

代码实现

20pt

n%10 == 0表示其个位数为0，第一次数位积后结果为0，次数为1

#include 
using namespace std;

int main() {
    long long n;
    cin >> n;
    
    if (n % 10 == 0)
        cout << 1;
    
    return 0;
}

40pt

n中含2含5，第一次数位积后个位数必为0且大于10，第二次数位积后结果为0，次数为2

#include 
using namespace std;

int main() {
    long long n;
    cin >> n;
    
    if (n % 10 == 0)
        cout << 1;
    else
        cout << 2;
    
    return 0;
}

100pt

循环判断n/10，满足就计算数位积，次数cnt++；不满足，输出cnt

#include 
using namespace std;

int main() {
    long long n;
    int cnt = 0;
    cin >> n;
    
    while (n / 10) {
        long long temp = n;
        n = 1;
        
        while (temp) {
            n *= temp % 10;
            temp /= 10;
        }
        
        cnt++;
    }
    
    cout << cnt;
    return 0;
}

代码解析

1. 变量声明：

• long long n：用于存储输入的整数，使用long long类型是为了处理大数（题目中n最大可达10^15）。
• int cnt：用于记录计算次数，初始化为0。

2. 输入处理：

• 使用cin >> n读取用户输入的整数。

3. 循环计算数位积：

• 外层循环while(n / 10)：只要n不是个位数（即n/10不为0），就继续循环。
• 内层循环while(temp)：计算n的各位数字的乘积。
  • temp % 10：获取n的最后一位数字。
  • n *= temp % 10：将该数字乘到n上。
• temp /= 10：去掉n的最后一位数字。
• 每次内层循环结束后，n的值变为当前各位数字的乘积，计数器cnt加1。

4. 输出结果：

• 当n变为个位数时，退出外层循环，使用cout << cnt输出计算次数。

边界情况处理

• n为个位数：此时n / 10为0，循环不会执行，直接输出0。
• n包含0：任何数乘以0都会变为0，因此如果n的各位数字中包含0，数位积会迅速变为0，计算次数较少。
• 大数处理：使用long long类型可以确保程序能够处理n的最大值10^15。

复杂度分析

时间复杂度：

最坏情况下，每次计算数位积时，需要遍历n的所有位数。假设n的位数为k，则每次计算的时间复杂度为O(k)。由于每次计算后n的位数会减少（除非n为0或1），因此总的时间复杂度可以近似为O(log n)（因为n的位数约为log10(n)）。

空间复杂度：

O(1)，只使用了常数个额外变量。

总结

本题通过循环计算数位积，直到其变为个位数为止，主要考察了基本的循环结构、数字处理和计数器的使用。通过合理的变量声明和循环控制，可以高效地解决问题。代码简洁明了，适用于处理大数情况。