复变指数函数 $w = e^z$ 的映射图像及MATLAB演示

复变指数函数 $w=e^z$ 的映射图像及MATLAB演示

复变指数函数 $w=e^z$ 是一个重要的全纯函数，具有周期性等特殊性质。下面我将介绍这个函数的映射特性，特别是它对垂直直线的影响，并使用MATLAB进行可视化演示。

映射特性

1. 直角坐标表示：若 $z=x+iy$，则：
   $$w=e^z=e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)$$
   即 $u=e^x\cos y$，$v=e^x\sin y$

2. 极坐标表示：

   • 模：$|w|=e^x$
   • 幅角：$\arg (w)=y$

3. 对垂直直线的影响：

   • 垂直直线 $x=c$ (常数) 被映射为以原点为中心、半径为 $e^c$ 的圆
   • 水平直线 $y=k$ (常数) 被映射为从原点出发、角度为 $k$ 的射线
   • 原本垂直的两条直线（一条垂直 $x=c$，一条水平 $y=k$）将被映射为正交的圆和射线

MATLAB 演示代码

以下是使用MATLAB可视化 $w=e^z$ 映射的代码，特别展示垂直直线的变化：

% 定义网格和特定直线
[x, y] = meshgrid(linspace(-2, 2, 20), linspace(-pi, pi, 20));
z = x + 1i*y;

% 计算映射
w = exp(z);

% 绘制原始网格
figure;
subplot(1, 2, 1);
plot(real(z), imag(z), 'b');
hold on;
plot(real(z'), imag(z'), 'b');

% 特别标记两条垂直的直线：x=1(垂直)和y=pi/4(水平)
x_const = 1;
y_const = pi/4;
plot([x_const, x_const], [min(imag(z(:))), max(imag(z(:)))], 'r', 'LineWidth', 2);
plot([min(real(z(:))), max(real(z(:)))], [y_const, y_const], 'g', 'LineWidth', 2);

title('z-平面 (原像)');
xlabel('Re(z)');
ylabel('Im(z)');
axis equal;
grid on;
legend('网格线', '', 'x=1(垂直)', 'y=\pi/4(水平)');

% 绘制映射后的网格
subplot(1, 2, 2);
plot(real(w), imag(w), 'b');
hold on;
plot(real(w'), imag(w'), 'b');

% 映射后的两条直线
% x=1的垂直线映射为圆
theta = linspace(-pi, pi, 100);
w_circle = exp(x_const) * (cos(theta) + 1i*sin(theta));
plot(real(w_circle), imag(w_circle), 'r', 'LineWidth', 2);

% y=pi/4的水平线映射为射线
r = linspace(0, exp(max(x(:))), 100);
w_ray = r * exp(1i*y_const);
plot(real(w_ray), imag(w_ray), 'g', 'LineWidth', 2);

title('w-平面 (像)');
xlabel('Re(w)');
ylabel('Im(w)');
axis equal;
grid on;
legend('网格像', '', 'x=1→圆', 'y=\pi/4→射线');

运行结果：

可视化结果说明

1. 左侧图(z平面)：

   • 蓝色网格表示原始坐标网格
   • 红色垂直线：$x=1$
   • 绿色水平线：$y=\pi /4$

2. 右侧图(w平面)：

   • 蓝色曲线表示映射后的网格
   • 红色圆：由垂直线 $x=1$ 映射而来，半径为 $e^1\approx 2.718$
   • 绿色射线：由水平线 $y=\pi /4$ 映射而来，角度为 $\pi /4$ (45度)

3. 正交性保持：

   • 在z平面中垂直的两条直线（红色和绿色）
   • 在w平面中映射为正交的圆和射线（仍然保持90度相交）

总结

通过这些可视化，我们可以清晰地看到复变指数函数如何将垂直直线映射为圆，水平直线映射为射线，并保持正交性不变。