仿射变换中的旋转缩放变换矩阵推导

仿射变换可以将矩阵形状转换为平行四边形。可以挤压形状，但是必须保持两边平行。常见的是旋转、缩放、平移变换。缩放和平移比较简单，本文重点推导旋转缩放变换矩阵。

任意一点$(x_0,y_0)$
可以看成$(x_0,0)$向量和$(0,y_0)$向量相加，对$(x_0,y_0)$
绕原点逆时针旋转$\theta$，相当于$(x_0,0),(0,y_0)$
绕原点逆时针旋转$\theta$ 后的向量相加。

在图像处理中图片的坐标通常使用的是左手坐标系，如图

x 轴为图片宽度方向，y轴为高度方向。

因此 $(x_0,y_0)$ 点逆时针旋转 $\theta$ 后的坐标为
$$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)=(x_0\cos \theta +y_0\sin \theta ,-x_0\sin \theta +y_0\cos \theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right)\end{array}$$
旋转矩阵为
$$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right).\end{array}$$

上面是绕原点旋转，如果是绕任意一点旋转呢？ 假设旋转中心center为
$(c_x,c_y)$。 我们把坐标原点移动到 $(c_x,c_y)$ ， 旧坐标系任意点(x,
y)在新坐标系下则为$(x-c_x,y-c_y)$。
因此在新坐标系下绕原点逆时针旋转$\theta$ ，即
$$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{c}{x}^{\ast }\\ y^{\ast }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x-c_x\\ y-c_y\end{array}\right)\end{array}$$
新坐标系下旋转后的点$(x^{\ast },y^{\ast })$在旧坐标系下则为$(x^{\ast }+c_x,y^{\ast }+c_y)$
。 因此旧坐标系下绕 $(c_x,c_y)$ 逆时针旋转 $\theta$ 后的点为
( x ′ y ′ ) = ( cos ⁡ θ sin ⁡ θ − sin ⁡ θ cos ⁡ θ ) ( x − c x y − c y ) + ( c x c y ) = ( cos ⁡ θ x + sin ⁡ θ y − c x cos ⁡ θ − c y sin ⁡ θ + c x − sin ⁡ θ x + cos ⁡ θ y + c x sin ⁡ θ − c y cos ⁡ θ + c y ) = ( cos ⁡ θ sin ⁡ θ ( 1 − cos ⁡ θ ) c x − c y sin ⁡ θ − sin ⁡ θ cos ⁡ θ c x sin ⁡ θ + ( 1 − cos ⁡ θ ) c y ) ( x y 1 ) \begin{aligned} \begin{pmatrix} x'\\ y'\\ \end{pmatrix} =& \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x-c_x \\ y-c_y \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c_x\\ c_y\\ \end{pmatrix} \\ =& \begin{pmatrix} \cos\theta x + \sin\theta y - c_x\cos\theta - c_y\sin\theta + c_x \\ -\sin\theta x + \cos\theta y + c_x\sin\theta - c_y\cos\theta + c_y \\ \end{pmatrix} \\ =& \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & (1 - \cos\theta)c_x - c_y\sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta & c_x\sin\theta + (1-\cos\theta)c_y \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ 1\\ \end{pmatrix} \end{aligned} (x′y′​)===​(cosθ−sinθ​sinθcosθ​)(x−cx​y−cy​​)+(cx​cy​​)(cosθx+sinθy−cx​cosθ−cy​sinθ+cx​−sinθx+cosθy+cx​sinθ−cy​cosθ+cy​​)(cosθ−sinθ​sinθcosθ​(1−cosθ)cx​−cy​sinθcx​sinθ+(1−cosθ)cy​​) ​xy1​ ​​

现在再考虑缩放，分2种情况:

(1) 旋转后以原点为中心缩放 scale, 记$scale\ast \cos \theta =\alpha$ ,
$scale\ast \sin \theta =\beta$ ，则
( x ′ y ′ ) = ( s c a l e 0 0 s c a l e ) ( cos ⁡ θ sin ⁡ θ ( 1 − cos ⁡ θ ) c x − c y sin ⁡ θ − sin ⁡ θ cos ⁡ θ c x sin ⁡ θ + ( 1 − cos ⁡ θ ) c y ) ( x y 1 ) = ( α β ( s c a l e − α ) c x − β c y − β α β c x + ( s c a l e − α ) c y ) ( x y 1 ) \begin{aligned} \begin{pmatrix} x'\\ y'\\ \end{pmatrix} =& \begin{pmatrix} scale & 0\\ 0 & scale \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & (1 - \cos\theta)c_x - c_y\sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta & c_x\sin\theta + (1-\cos\theta)c_y \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ 1\\ \end{pmatrix} \\ =& \begin{pmatrix} \alpha & \beta & (scale - \alpha)c_x - \beta c_y \\ -\beta & \alpha & \beta c_x + (scale-\alpha)c_y \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ 1\\ \end{pmatrix} \end{aligned} (x′y′​)==​(scale0​0scale​)(cosθ−sinθ​sinθcosθ​(1−cosθ)cx​−cy​sinθcx​sinθ+(1−cosθ)cy​​) ​xy1​ ​(α−β​βα​(scale−α)cx​−βcy​βcx​+(scale−α)cy​​) ​xy1​ ​​

(2) 旋转后以$(c_x,c_y)$ 为中心点缩放，分2步：
第1步，先按上面(1)变换，此时$(c_x,c_y)$点变为了$(scale\ast c_x,scale\ast c_y)$
；第2步 x分量平移 $c_x-scale\ast c_x$ ，y
分量平移$c_y-scale\ast c_y$。因此

( x ′ y ′ ) = ( α β ( s c a l e − α ) c x − β c y − β α β c x + ( s c a l e − α ) c y ) ( x y 1 ) + ( 0 0 c x − s c a l e ∗ c x 0 0 c y − s c a l e ∗ c y ) ( x y 1 ) = ( α β ( 1 − α ) c x − β c y − β α β c x + ( 1 − α ) c y ) ( x y 1 ) \begin{aligned} \begin{pmatrix} x'\\ y'\\ \end{pmatrix} =& \begin{pmatrix} \alpha & \beta & (scale - \alpha)c_x - \beta c_y \\ -\beta & \alpha & \beta c_x + (scale-\alpha)c_y \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ 1\\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & c_x - scale * c_x \\ 0 & 0 & c_y - scale * c_y \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ 1\\ \end{pmatrix} \\ =& \begin{pmatrix} \alpha & \beta & (1 - \alpha)c_x - \beta c_y \\ -\beta & \alpha & \beta c_x + (1-\alpha)c_y \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ 1\\ \end{pmatrix} \end{aligned} (x′y′​)==​(α−β​βα​(scale−α)cx​−βcy​βcx​+(scale−α)cy​​) ​xy1​ ​+(00​00​cx​−scale∗cx​cy​−scale∗cy​​) ​xy1​ ​(α−β​βα​(1−α)cx​−βcy​βcx​+(1−α)cy​​) ​xy1​ ​​

顺便提下，毛星云写的《OpenCV3 编程入门》旋转缩放矩阵是错的，写成了2*1矩阵；《学习OpenCV 3》中文版则有一个符号错误，把加号写成了减号。这2本书都没有推导过程，这也是我写这篇文章的原因。

原文链接
仿射变换中的旋转缩放变换矩阵推导

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