时间复杂度和空间复杂度的概念

算法本身是不分好坏的，所谓最好的算法，指的是最适合当前场景的算法。挑选算法时，主要考虑以下两方面因素：

• 执行效率：根据算法所编写的程序，执行时间越短，执行效率就越高；
• 占用的内存空间：不同算法编写出的程序，运行时占用的内存空间也不相同。如果实际场景中仅能使用少量的内存空间，就应该优先选择占用空间最少的算法。

当问题对应的算法数量较少时（比如2、3种），我们可以编写出各个算法对应的程序，逐个在机器上运行，记录它们各自的执行时间和占用内存空间的大小，最终挑选出最好的算法。如果问题对应的算法数量有很多（比如10种，20种），先前的挑选方式将不再适用，因为将各个算法一一编写成程序的工作量是巨大的，得不偿失。

实际开发中，我们往往采用“预先估值”的方法挑选算法。具体来讲，就是分析各个算法的实现过程（步骤），估算出它们各自的运行时间和占用的内存空间，进而挑选出最好的算法。用“预先估算”方式挑选算法时，我们习惯用时间复杂度表示一个算法的运行时间，用空间复杂度表示算法占用存储空间的大小。

接下来，我们就来了解一下如何估算一个算法的时间复杂度和空间复杂度。

时间复杂度

时间复杂度用于表示算法的执行时间。

接下来，我们以《算法是什么》一节中求n!的算法为例：

输入 n          // 接收 n 的值
p <- 1          // p 的初值置为 1
for i<-1 to n:  // i 的值从 1 一直到 n
    p <- p * i  // 将 p*i 的值赋值给 p
Print p         // 输出 p 的值

计算它的时间复杂度，只需经历以下几个步骤：

1) 统计算法中各个步骤的执行次数

整个算法中共有5行伪指令，它们各自的执行次数分别是：

输入 n          <- 执行 1 次
p <- 1          <- 执行 1 次
for i<-1 to n:  <- i 的值从 1 遍历到 n，当 i 的值为 n+1 的时候退出循环，总共执行 n+1 次
    p <- p * i  <- i 从 1 到 n 的过程，共执行 n 次
Print p         <- 执行 1 次

统计算法中所有伪指令执行的总次数，结果为2n + 4。显然，2n + 4不是一个固定值，整个表达式值的大小取决于n的值。

2*n + 4可以直接作为算法执行时间的估值，也可以对它进行简化，用规范的形式表示算法的运行时间。

2) 简化算法的执行次数

通过统计各个算法中每条伪指令的执行次数，每个算法的运行时间都可以用类似2n + 4、3n² + 4*n + 5这样的表达式表示。这就产生一个问题，如何比较各个表达式的大小呢？

首先，我们可以尝试对每个表达式进行简化，简化方法是：假设表达式中变量的值无限大时，去除掉那些对表达式结果影响较小的项。以3n² + 4n + 5为例，简化过程为：

• 当n无限大时，3n² + 4n与3n² + 4n + 5的值非常接近，是否加5对表达式的值影响不大，因此表达式可以简化为3n² + 4n；
• 当n无限大时，3n²的值要远远大于4n的值，它们之间类似于10000和1之间的关系，因此是否加4n对表达式最终的值影响不大，整个表达式可以简化为3n²；
• 当n无限大时，n²的值已经超级大，是否乘3对最终结果影响不大，整个表达式可以简化为n²。

简化表达式的过程可以总结为：

• 去掉表达式中所有的加法常数项，3n² + 4n + 5中的5就是加法常数项；
• 只保留表达式中变量指数最大的项，3n² + 4n中n的最大指数为2，所以只保留3*n²；
• 去掉常数系数，3*n²中的3就是n²的常数系数。

基于“n值无限大”的思想，3n² + 4n + 5最终可以简化为n²。无论多么复杂的表达式，都可以采用这种方式进行简化。

3) 大O记法表示时间复杂度

除了用n外，一些人还可能会用a、b、c等字符作为表达式中的变量。为此，人们逐渐达成了一种共识，即都用n作为表达式中的变量，并采用大O记法表示算法的执行时间。

采用大O记法表示算法的执行时间，直接套用如下的格式即可：
O(频度)

频度指的就是简化后的表达式。

采用大O记法，2n + 4可以用O(n)表示，3n² + 4*n + 5可以用$O(n^2)$表示。注意，如果一个算法对应的表达式中没有变量（比如10，100等），则用O(1)表示算法的执行时间。

如果一个算法的执行时间最终估算为O(n)，那么该算法的时间复杂度就是O(n)。如下列举了常用的几种时间复杂度以及它们之间的大小关系：
O(1) < O(logn) < O(n) < O(n²) < O(n³) < O(2ⁿ)

O(1)是最小的，对应的算法的执行时间最短，执行效率最高。

空间复杂度

空间复杂度衡量的是算法执行过程占用的内存空间的大小。

比较多个算法占用的内存大小，本质上比较的是各个算法执行过程中额外申请的内存空间的大小。举个简单的例子：

输入 n
A[i...n] = {1...n}  <- 额外申请 n 个空间

根据n的值，算法执行时需要申请n个整数的内存空间，n的值越大，额外申请的内存空间就越多。

与时间复杂度的表示方法一样，空间复杂度也采用大O记法表示。算法空间复杂度的估算方法是：

• 如果算法中额外申请的内存空间不受用户输入值的影响（是一个固定值），那么该算法的空间复杂度用O(1)表示；
• 如果随着输入值n的增大，算法申请的存储空间成线性增长，则程序的空间复杂度用O(n)表示;
• 如果随着输入值n的增大，程序申请的存储空间成n²关系增长，则程序的空间复杂度用O(n²)表示；
• 如果随着输入值n的增大，程序申请的存储空间成n³关系增长，则程序的空间复杂度用O(n³)表示；

总结

时间复杂度和空间复杂度是衡量算法好坏的两个关键指标，但是在不同的开发场景中，它们的重要程度可能不同，比如：

• 在处理大规模数据时，时间复杂度可能更为重要，因为快速处理数据可以在第一时间拿到结果。
• 在内存受限的环境中，空间复杂度可能更为关键，因为需要确保算法在有限的内存内运行。