AI数学启蒙：100天Python实践计划 - 第12天 简单概率 可能性大小001篇

AI数学启蒙：100天Python实践计划 - 第12天

主题：简单概率与可能性大小

今天我们将学习概率的基础知识，并通过Python模拟实验来验证理论概率。以下是详细内容：

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一、概率基础概念

1. 什么是概率？
   概率是衡量某事件发生可能性的数值，范围在 0（不可能）到 1（必然）之间。
   公式：
   $$P(A)=\frac{\text{事件A发生的可能结果数}}{\text{所有可能结果的总数}}$$

2. 样本空间与事件

   • 样本空间 (S)：所有可能结果的集合。
     例如：抛一枚硬币的样本空间是 {正面, 反面}。
   • 事件 (E)：样本空间的子集。
     例如：抛硬币得到正面是事件 {正面}。

3. 常见概率场景

   • 独立事件：事件A的发生不影响事件B（如连续抛硬币）。
   • 互斥事件：事件A和事件B不能同时发生（如掷骰子得到1和2）。

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二、Python模拟实验

实验1：抛硬币的概率

目标：验证抛硬币正面朝上的概率接近理论值 0.5。

import random

def flip_coin(n_trials):
    heads = 0
    for _ in range(n_trials):
        result = random.choice(["正面", "反面"])
        if result == "正面":
            heads += 1
    probability = heads / n_trials
    return probability

# 模拟10000次抛硬币
n = 10000
print(f"正面概率: {flip_coin(n):.4f}")

输出示例：

正面概率: 0.4987

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实验2：掷骰子的点数分布

目标：统计两个骰子点数之和的概率分布。

import matplotlib.pyplot as plt

def roll_dice(n_rolls):
    sums = []
    for _ in range(n_rolls):
        dice1 = random.randint(1, 6)
        dice2 = random.randint(1, 6)
        sums.append(dice1 + dice2)
    return sums

# 模拟10000次掷骰子
n = 10000
results = roll_dice(n)

# 绘制点数之和的频率分布
plt.hist(results, bins=range(2, 14), edgecolor='black', density=True)
plt.title("两个骰子点数之和的分布")
plt.xlabel("点数之和")
plt.ylabel("概率")
plt.show()

输出图表：

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三、实际应用：抽奖系统模拟

问题：一个箱子里有100张奖券，其中10张是中奖券。模拟抽10次（不放回），计算中奖概率。

import random

def lottery_simulation():
    tickets = list(range(1, 101))  # 100张奖券
    winning_tickets = set(random.sample(tickets, 10))  # 随机10张中奖券
    
    # 模拟抽10次不放回
    drawn = set()
    for _ in range(10):
        ticket = random.choice(tickets)
        drawn.add(ticket)
        tickets.remove(ticket)
    
    # 计算中奖次数
    wins = len(drawn & winning_tickets)
    return wins > 0  # 是否至少中一次奖

# 模拟10000次抽奖
n_simulations = 10000
success = sum(lottery_simulation() for _ in range(n_simulations))
print(f"中奖概率: {success / n_simulations:.4f}")

输出示例：

中奖概率: 0.6513

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四、关键知识点总结

1. 理论概率 vs 实验概率
   • 理论概率通过公式计算，实验概率通过模拟或实验得出。
2. 大数定律
   当实验次数足够多时，实验概率会趋近于理论概率。
3. 应用场景
   概率可用于风险评估、游戏设计、机器学习中的不确定性建模等。

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五、课后练习

1. 模拟掷骰子：编写代码模拟掷两个骰子1000次，绘制点数之和的概率分布图。
2. 概率问题：从一副扑克牌中随机抽取一张，求抽到红桃A的概率是多少？用代码验证。

答案示例：

# 练习1答案（参考）
import matplotlib.pyplot as plt

results = [random.randint(1,6)+random.randint(1,6) for _ in range(1000)]
plt.hist(results, bins=range(2,13), density=True)
plt.show()

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通过今天的学习，你可以用Python验证概率理论，并解决实际问题！明天我们将探索统计与数据分析。