通信原理学习笔记6-4：数字解调——抽样判决的译码准则（最大后验概率准则MAP、最大似然准则ML、最小二乘/最小平方准则LS、最小距离准则）

判决译码

在无ISI时，任意位置$n$上的一个符号$I_n$，经过AWGN信道、匹配滤波器、采样后，得到符号$Y_n$$$Y_n=I_n+n_n$$

• 其中，$n_n$为离散高斯白噪声
• 我们的目标：根据抽样结果（符号$Y_n$）来判决发射端的符号

问题建模

传输对信号有干扰，译码就是：已知观测结果$\mathbf{Y}$，从观测值估计参数$\mathbf{X}$，模型如下：$$\mathbf{Y}=H\{\mathbf{s}(\mathbf{X})\}+\mathbf{n}$$其意义是，对于参数$\mathbf{X}$（可包含多个参数），经函数$s$处理后得到$s(\mathbf{X})$，将其作为输入信号送入系统$H$，最终得到观测$\mathbf{r}$
注意，若有多次观测，则$\mathbf{r}$可以是一个向量（离散的），也可以是一个随机信号（连续的）即$y(t)=s(t;\mathbf{X})+n(t)$
下面将会介绍，MAP/ML/LS准则分别为：$$\begin{array}{rl}\hat{\mathbf{X}}& =\arg \underset{\mathbf{X}}{\max }{p}_{\mathbf{X}\mid \mathbf{Y}}(\mathbf{X}\mid \mathbf{Y})\\ \hat{\mathbf{X}}& =\arg \underset{\mathbf{X}}{\max }{p}_{\mathbf{Y}\mid \mathbf{X}}(\mathbf{Y}\mid \mathbf{X})\\ \hat{\mathbf{X}}& =\arg \underset{\mathbf{X}}{\max }|\mathbf{Y}-H\{s(\mathbf{X})\}{|}^2\end{array}$$

两种典型的译码准则分别是最大后验概率准则MAP和最大似然准则ML

假设发出符号集$X$（原因），接收到符号集$Y$（结果），下面译码的都是都是已知$Y$求解$X$的问题

$P(X)$称为先验概率（未观测到结果$Y$前，$X$的概率），$P(X|Y)$称为后验概率，$P(Y|X)$称为似然，这也是“最大后验概率”和“最大似然”的由来

最大后验概率准则MAP（Maximum A Posteriori Estimation） / 最小错误概率译码准则

收到符号$Y$的条件下，译码为$X$，目标就是后验$P(X|Y)$的最大化
然而问题是，后验$P(X|Y)$常常难以求出

最大后验概率准则MAP利用了贝叶斯公式：$$P(X|Y)=\frac{P(X)P(Y|X)}{P(Y)}$$
分子上就是联合概率$P(XY)=P(X)P(Y|X)$，而分母$P(Y)$与问题无关，可以忽略（我们正是要对每个$Y$估计其对应的$X$）

由此，最大后验概率的问题转为求$P(XY)=P(X)P(Y|X)$最大化（相比直接求后验概率最大化，这更加可行）

MAP表明，求解最大后验$⟺$求解最大的「似然$\times$先验」，即$P(XY)=P(X)P(Y|X)$

最大似然准则ML（Maximum Likelihood Estimation）

Likelihood的理解：Likelihood意为似然度 / 可能性
知道了结果是$y_j$，但不知道原因$x_i$，那么就要寻找一个$x_i$，它最贴近事实；
找到的$x_i$是一个能最好描述已经发生事件的参数，“发$x_i$收$y_j$”是最有可能发生的

再进一步，如果先验$P(X)$也是未知的，则MAP退化到求解「最大似然」ML

• 也就是说，MAP的$P(X)P(Y|X)$最大化，此时退化为ML的$P(Y|X)$最大化

要注意的是，仅当$X$等概时，ML的结果与MAP一致；$X$不等概则这样做一定会引入误差
这是容易理解的：

• 我们寻找原因$X$，使得当前的$Y$最可能出现，当然需要综合考虑$X$本身出现的概率$P(X)$和已知某个$X$时得到$Y$的概率$P(Y|X)$，这是MAP的方法；
• 然而，ML忽略了$X$的分布，仅考虑已知某个$X$时得到$Y$的概率$P(Y|X)$，这种做法当然只有在$X$等概分布时才是合理的

ML是在寻找：什么样的输入 / 原因$X$，最有可能产生当前的观测数据 / 结果$Y$，或者说为当前的事件结果$Y$找一个原因$X$，保证当前发生的事件是概率最大的事件

小结：MAP与ML的对比

从思路上：

• MAP是知道结果$Y$，反推原因$X$
  寻找原因$X$，使$P(X|Y)$最大化$\Rightarrow$对每个$Y$使$P(XY)$最大化$\Rightarrow$对每个$Y$使$P(X)p(Y|X)$最大化
• ML是找出一个原因$X$，使事件最有可能发生
  寻找原因$X$，（$X$等概时）使$P(Y|X)$最大化$\Rightarrow$然而$X$不等概时，应该使$P(X)P(Y|X)$最大化（$X$不等概时ML是错误的，应该重新回归到使用MAP准则上）

可见，ML是MAP的一个特例；当$X$等概分布时，MAP准则可以简化为ML准则

最小二乘准则/最小平方准则LS

对于模型$\mathbf{Y}=H\{\mathbf{s}(\mathbf{X})\}+\mathbf{n}$

• 当噪声$\mathbf{n}$为高斯分布时，最大似然准则ML等价于最小二乘准则LS；
• 当噪声不为高斯分布时，ML一般也没有简洁的解析表达式，可能仍然使用最小二乘准则LS，最然性能比会ML差

总之，最小二乘准则LS是应用最广的最优化准则

[最大似然准则ML 到 最小二乘准则LS的推导]
模型为：$$\mathbf{Y}=H\{\mathbf{s}(\mathbf{X})\}+\mathbf{n}$$假设噪声$\mathbf{n}\sim N(0,{\sigma }^2)$，则已知参数$\mathbf{X}$后，观测信号$\mathbf{y}\sim N(H\{s(\mathbf{X})\},{\sigma }^2)$，即条件概率$$p_{\mathbf{Y}\mid \mathbf{X}}(\mathbf{Y}\mid \mathbf{X})={\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\right)}^N{\mathrm{e}}^{-|\mathbf{Y}-H\{s(\mathbf{X})\}{|}^2/2{\sigma }^2}$$忽略系数，定义似然函数$\Lambda (\mathbf{X})$为$$\Lambda (\mathbf{X})=\exp \left\{-|\mathbf{Y}-H\{s(\mathbf{X})\}{|}^2/2{\sigma }^2\right\}$$那么，最大似然准则ML要保证估计出的$\hat{\mathbf{X}}$使得$p_{\mathbf{Y}\mid \mathbf{X}}(\mathbf{Y}\mid \mathbf{X})$最大，等价于使得似然函数$\Lambda (\mathbf{X})$最大，又等价于使得损失函数$L(\mathbf{X})=|\mathbf{Y}-H\{s(\mathbf{X})\}{|}^2$最小，这就是最小二乘准则：$$\hat{\mathbf{X}}=\arg \underset{\mathbf{X}}{\max }L(\mathbf{X})=\arg \underset{\mathbf{X}}{\max }|\mathbf{Y}-H\{s(\mathbf{X})\}{|}^2$$

最小距离准则

再进一步，在QAM中，星座点$c\in C$位于复平面上，记为复数$I_n$
若接收信号经过匹配滤波器和采样后，得到符号$Y_n$，且信道噪声为高斯的，那么LS准则写为$${\hat{I}}_n=\arg \underset{c\in C}{\min }{\left|Y_n-c\right|}^2$$
在复平面上理解，这就是要使译码结果和接收符号的欧式距离最小，即最小距离准则

扩展：从平均错误译码概率的角度看MAP和ML

实际上，选取译码规则的原则是：确保译码正确的可能性最大，或者使平均错误译码概率最小

平均错误译码概率的推导

假设收到$s$种可能码字之一的$y_j$，我们通过译码规则将其译码为$F(y_j)=x^{\ast }$，$x^{\ast }$是发射的所有可能码字中的一个

• 发射的码字就是$x^{\ast }$，则译码正确（译码得到了发出的码字）；
• 发射的码字不是$x^{\ast }$，则译码错误；

收到一个码字$y_j$，错误译码的概率为$p(error|y_j)=1-p[F(y_j)|y_j]=1-p(x^{\ast }|y_j)$

对所有可能的接收码字$y_j$取期望，则平均错误译码概率为：
$$P_E=\sum _{j=1}^{s}p(y_j)p(error|y_j)=1-\sum _{j=1}^{s}p(y_j)p(x^{\ast }|y_j)$$
MAP和ML的目标都是选取译码规则$F(y_j)$，使得错误概率$P_E$最小化；
也就是使正确概率${\sum }_{j=1}^{s}p(y_j)p(x^{\ast }|y_j)={\sum }_{j=1}^{s}p(x^{\ast }{y}_j)$最大化；

但对于每个$y_j$，MAP和ML使得$p(x^{\ast }{y}_j)$最大化的具体思路不同：

• MAP是将$p(x^{\ast }{y}_j)$最大化等价为：对于每个$y_j$，选择译码结果$x^{\ast }$，使得$p(x^{\ast }|y_j)$最大化（两者只是相差归一化倍数$p(y_j)$）

平均错误译码概率$P_E=1-{\sum }_{j=1}^{s}p(x^{\ast }{y}_j)=1-{\sum }_{j=1}^{s}p(y_j)p(x^{\ast }|y_j)$
若译码结果为$F(y_j)=x^{\ast }$，为了保证收到$y_j$的条件下发出符号为$x^{\ast }$的概率最大
$x^{\ast }$应该满足：
$$p(x^{\ast }|y_j)\ge p(x_i|y_j),其中x_i\ne x^{\ast }$$
具体操作：在条件概率矩阵$F_{X|Y}$（或联合概率矩阵$F_{XY}$）的每一列中（对应一个$y_j$），选择概率最大项对应的$x_i$作为译码输出

• ML是将$p(x^{\ast }{y}_j)$最大化等价为：对于每个$y_j$，选择译码结果$x^{\ast }$，使得$p(x^{\ast })p(y_j|x^{\ast })$最大化
  $\Rightarrow$当$x_i$等概时进一步简化为使$p(y_j|x^{\ast })$最大化

平均错误译码概率$P_E=1-{\sum }_{j=1}^{s}p(x^{\ast }{y}_j)=1-{\sum }_{j=1}^{s}p(x^{\ast })p(y_j|x^{\ast })$
若译码结果为$F(y_j)=x^{\ast }$，为了保证发射$x^{\ast }$并且收到$y_j$的概率最大
$x^{\ast }$应该满足：
$$p(x^{\ast })p(y_j|x^{\ast })\ge p(x_i)p(y_j|x_i),其中x_i\ne x^{\ast }$$
当发射符号$x_i$等概率出现时，上式简化为：
$$p(y_j|x^{\ast })\ge p(y_j|x_i),其中x_i,x^{\ast }\in 符号集X且x_i\ne x^{\ast }$$
（注意，后一个简化后的形式才是我们上面所说的“真正的”ML准则）
具体操作：在联合概率矩阵$F_{XY}$（或$x_i$等概时，在转移概率矩阵$F_{Y|X}$）的每一列中（对应一个$y_j$），选择概率最大项对应的$x_i$作为译码输出

总结

• 实际应用中，如果给出了完整的分布信息$F_{XY}$或$F_{X|Y}$，MAP准则是最通用的方法，因为MAP的$p(x^{\ast }|y_j)$最大化，等价于$p(x^{\ast }{y}_j)$最大化
• 然而，大部分情况下仅知道转移概率矩阵$F_{Y|X}$，则使用ML准则更方便，但前提是假定发射符号等概，此时ML的$p(y_j|x^{\ast })$最大化，才能等价于$p(x^{\ast }{y}_j)$最大化
• 进一步的，当噪声为高斯分布，ML等价于LS，并且在非高斯分布下也常采用LS，这是应用最广泛的准则

Turbo码译码的理论基础，就是MAP准则，它将接收信号分为多个部分，从一部分接收信号中获取的后验概率，可以作为另一部分的先验概率，各个部分互相提供先验概率信息，最终完成迭代译码

需要注意，具体应用这些译码准则时，带入公式时需要注意变量$X$和$Y$的取值是否连续

• 若$X$和$Y$为取值连续的变量，例如做ML估计，列出式子$\hat{\mathbf{X}}=\arg {\max }_{\mathbf{X}}{p}_{\mathbf{Y}\mid \mathbf{X}}(\mathbf{Y}\mid \mathbf{X})$后，式中$p_{\mathbf{Y}\mid \mathbf{X}}(\mathbf{Y}\mid \mathbf{X})$是一个概率密度，为了使之最大，应该对$\mathbf{X}$求导数；
• 若若$X$和$Y$为取值离散的变量，整体表达式形式不变，但是其中概率密度要换成概率值$\hat{\mathbf{X}}=\arg {\max }_{\mathbf{X}}{P}_{\mathbf{Y}\mid \mathbf{X}}(\mathbf{Y}\mid \mathbf{X})$，并且求最大值无法求导，而是需要穷举$\mathbf{X}$求最大值