代码随想录算法训练营Day35 | 01背包问题 二维 01背包问题 一维 416. 分割等和子集

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问题描述：

小明是一位科学家，他需要参加一场重要的国际科学大会，以展示自己的最新研究成果。他需要带一些研究材料，但是他的行李箱空间有限。这些研究材料包括实验设备、文献资料和实验样本等等，它们各自占据不同的空间，并且具有不同的价值。 

小明的行李空间为 N，问小明应该如何抉择，才能携带最大价值的研究材料，每种研究材料只能选择一次，并且只有选与不选两种选择，不能进行切割。

解决方式：

• ​​二维动态规划​​：

  • 直观，易于理解。
  • 空间复杂度高。
  • 方便回溯具体选择的物品。

import java.util.*;
 
public class Main{
 
    public static void main(String[] args){
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int m = sc.nextInt(); //研究材料个数
        int n = sc.nextInt(); //背包大小
 
        int[] weight = new int[m];
        int[] value = new int[m];
        for(int i=0;i= weight[i - 1]) {
                    //当前物品可以放入
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i - 1]] + value[i - 1]);
                } else {
                    //当前物品无法放入
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                }
            }
        }
        System.out.println(dp[m][n]);
    }
}

• ​​一维动态规划​​：

  • 空间效率高。
  • 实现时需要特别注意遍历顺序。
  • 回溯具体选择的物品较为复杂。

    int[] dp = new int[n + 1]; // 一维DP数组
    for (int i = 0; i < m; i++) {
         // 必须逆序遍历背包容量
          for (int j = n; j >= weight[i]; j--) {
          dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
          }
     }

为什么一维解法要逆序遍历？

举例说明：
假设当前物品重量为2，价值为3：

• 如果正序遍历：

  • j=2时：dp[2] = max(dp[2], dp[0]+3) = 3
  • j=4时：dp[4] = max(dp[4], dp[2]+3) = 6（这里dp[2]已经是新值，相当于重复选取）

• 逆序遍历：

  • j=4时：dp[4] = max(dp[4], dp[2]+3) = 3（dp[2]还是初始值0）
  • j=2时：dp[2] = max(dp[2], dp[0]+3) = 3
    这样每个物品只被选取一次

416. 分割等和子集

问题描述：

给你一个 只包含正整数 的 非空 数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

示例 1：

输入：nums = [1,5,11,5]
输出：true
解释：数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11] 。

解决方式：

class Solution {
    public boolean canPartition(int[] nums) {
        int sum=0;
        for(int num:nums){
            sum+=num;
        }
        //sum为奇数直接返回false
        if(sum%2==1) return false;
        
        int target = sum / 2;
        boolean[] dp = new boolean[target + 1];
        dp[0] = true; // 初始状态：和为 0 是可以实现的

        for (int num : nums) {
            for (int j = target; j >= num; j--) {
                //dp[j]不选当前数num，dp[j - num]选当前数num
                dp[j] = dp[j] || dp[j - num];
            }
        }
        return dp[target];
    }
}