第二类斯特林数的推导

定义

S2(n,m)为，将n个有标记小球放入m个无差别盒子（无空盒）中的方案数。
乘上m!就是有差别盒子。

计算

由定义得递推式
S2(i,j)=S2(i−1,j−1)+S2(i−1,j)∗j
这个式子用于O(n^2)计算n,n以内的所有斯特林数

若要求某一个S2(n,m)，可推导通项公式
首先无视无空盒条件，放法有 mn 种
然后枚举有k个空盒，可得出多算的有
Ckm∗(m−k)n
这要套个容斥，因为 (m−k)n 并不保证这m-k个盒子中全是有的。

换句话说，设不保证无空盒的放法全集是S， Ai 表示S中第i个盒子为空的放法子集.
减去 C1m∗(m−1)n 即为 减去 ∑Ai
显然我们多减去了 Ai∩Aj 这一类放法. 即有i,j同时为空的放法
因此要加回 Ai∩Aj ，但又多加了 Ai∩Aj∩Ak ，以此类推，理解一下.

故
S2(n,m)=1m!∗∑mk=0Ckm∗(m−k)n∗(−1)k
那个1/m!是将m个盒子变为无差别. (乘上就是有差别咯)
可 O(mlogn) 计算某一个s2.