数据结构与算法学习笔记----字符串哈希

数据结构与算法学习笔记----字符串哈希

@@ author: 明月清了个风

@@ first publish: 2024.12.4

字符串哈希（string hash）

字符串哈希和上一篇的整数哈希一样，通过将字符串映射到一个数字来表示该字符串，只是对于字符串来说，这个哈希函数映射的方法会更特殊。

实现原理（多项式哈希）

基本的思想是通过将字符串中的每个字符映射到一个数字，通常使用ASCII码值，通过加权求和的方式计算出该字符串的哈希值。

假设字符串$S$为$S=s_0{s}_1{s}_2...s_{n-1}$,则其哈希值可以通过以下多项式进行计算：

$$h(S)=(s_0\cdot p^{n-1}+s_1\cdot p^{n-2}+s_2\cdot p^{n-3}+...+s_{n-1}\cdot p^0)modQ\text{\hspace{1em}(1)}$$

其中：

• $s_i$字符串中的第$i$个字符的数值，可以是ASCII码，也可以是别的方法进行计算（比如减去字符a的值）
• $p$是一个常数，通常选取为131，上式括号中的部分就是将字符串$S$看做一个$p$进制的数转换为十进制的结果
• $Q$是一个模数，选取为$2^{64}$，也就是unsigned long long的范围，这样数值越界就可以直接当做取模了。

前缀哈希

字符串哈希的目的就是为了能够快速判断子串的性质，比如是否存在，那如何快速求出子串的哈希值就很关键。

对于字符串$S$，我们通过前缀哈希构造一个哈希数组h[]，其中h[i]表示字符串$S$从第1个字符到第i个字符的哈希值，哈希值可以由以下公式得到：

$$h[i]=(h[i-1]\times p+s_i)modQ\text{\hspace{1em}(2)}$$

式中各值含义与上述相同，其中h[0] = 0，表示空字符串的哈希值。

那么我们要获取区间[l, r]子串的哈希值就可以通过类似前缀和的思想进行计算，利用以下公式：

$$h(s[l,r])=(h[r]-h[l-1]\ast p^{r-l+1})modQ\text{\hspace{1em}(3)}$$

解释：每个从第1个字符开始的子串都被当预处理成了一个p进制的数，那么对于子串$s[1,r]$和$s[1,l-1]$来说，他们转化为10进制数后为：

$$Dec(s[1,r])=s_1\cdot p^{r-1}+s_2\cdot p^{r-2}+s_3\cdot p^{r-3}+...+s_r\cdot p^0\text{\hspace{1em}(4)}$$
$$Dec(s[1,l-1])=s_1\cdot p^{l-2}+s_2\cdot p^{l-3}+s_3\cdot p^{l-4}+...+s_{l-1}\cdot p^0\text{\hspace{1em}(5)}$$

可以看出，两者的公共部分子串$s[1,l-1]$差了$p^{r-l+1}$倍，因此，式(5)乘上$p^{r-l+1}$就相当于将两者的$s[1,l-1]$部分对齐，再将式(4)-式(5)即可得式(3)括号部分。

AcWing 841. 字符串哈希

[原题链接](841. 字符串哈希 - AcWing题库)

给定一个长度为$n$个字符串，再给定$m$个询问，每个询问包含四个整数$l_1,r_1,l_2,r_2$，请你判断$[l_1,r_1]$和$[l_2,r_2]$这两个区间所包含的字符串子串是否完全相同，字符串中只包含大小写英文字母和数字。

输入格式

第一行包含整数$n$和$m$，表示字符串长度和询问次数。

第二行包含一个长度为$n$的字符串，字符串中只包含大小写英文字母和数字。

接下来$m$行，每行包含四个整数$l_1,r_1,l_2,r_2$，表示一次询问所涉及的两个区间。

注意，字符串的位置从$1$开始编号。

输出格式

对于每个询问指令输出一个结果，如果两个字符串子串完全相同则输出Yes，否则输出No.

数据范围

$1\le n,m\le 10^5$,

代码

#include 
#include 

using namespace std;

typedef unsigned long long ULL;

const int N = 100010, P = 131;

char str[N];
int n, m;
ULL h[N], p[N];

ULL gets(int l, int r)
{
    return h[r] - h[l - 1] * p[r - l + 1];
}

int main()
{
    cin >> n >> m >> str + 1;
    
    p[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        p[i] = p[i - 1] * P;
        h[i] = h[i - 1] * P + str[i];
    }
    
    while(m --)
    {
        int l1, r1, l2, r2;
        cin >> l1  >> r1 >> l2 >> r2;
        if(gets(l1, r1) == gets(l2, r2)) cout << "Yes" << endl;
        else cout << "No" << endl;
    }
    
}