leetcode136 只出现一次的数字 位运算“异或”的巧用

写些题外话

作为我的第一篇题解我啰嗦几句。计算机离不开算法，尽管非算法岗不一定需要处理很多算法相关的任务，熟悉常见算法依然是必须的。时常练习一些算法题目有助于杀死脑细胞活跃大脑，增长知识，感受人类智慧的伟大。
在LeetCode练习算法已有一段时间，不过长进难以量化，感觉进步也不是很大，数学这种东西，似乎还是挺需要天赋的。尽力而为吧，就像身体的锻炼一样，开发人员还是需要保持大脑的工作状态。
考虑写题解的时候，想的是写一些还没有很多答案的，并且自己的思路与现有答案有一些不同且可取之处的解答。但是由于鄙人本身就菜，符合要求的情况实在是少。换个角度想，写题解的目的也不一定非是要别人看了眼前一亮，当做自己总结和表述能力的练习也蛮好。个人觉得把复杂的事物记清楚、讲明白的能力还是很重要的。

题目

原题地址

136.只出现一次的数字 给定一个非空整数数组，除了某个元素只出现一次以外，其余每个元素均出现两次。找出那个只出现了一次的元素。

说明：

你的算法应该具有线性时间复杂度。 你可以不使用额外空间来实现吗？

示例 1:

输入: [2,2,1]
输出: 1
示例 2:

输入: [4,1,2,1,2]
输出: 4

常规思路

1.暴力 对数组中每个数nums[i]，对于下标j,若(i!=j)&&(nums[i]==nums[j])，则答案非此数，不多赘述。

2.使用哈希表 即常说的空间换时间思想。数字范围较大时，直接使用数组作为哈希表会占用太大空间，可以使用STL中的unordered_map。（当你对c++的类和函数拿不准时，可以查阅c++参考手册）
遍历题目所给数组nums，相同的数字会映射到哈希表中相同的位置，可以利用此特点来记录数字出现的次数。之后遍历map,找出出现次数为1的数字即可。此法可以通用地解决大部分类似问题，时间复杂度O(n),空间复杂度O(n)。

//leetcode默认using namespace std;但实际上这是个不太好的习惯
//自己写代码时还是应该使用std::unordered_map这种形式
class Solution {
public:
    int singleNumber(vector<int>& nums) {
        unordered_map<int,int> mmap;
        for(auto number:nums)
        {
            ++mmap[number];
        }
        //使用auto [x,y]:map遍历，对比::iterator it=map.begin();it!=map.end();++it
        //对应关系为x==it->first,y==it->second
        for(auto [number,count]:mmap) 
        {
            if(count==1)
            {
                return number;
            }
        }
        return INT_MAX;//如果所给数组保证符合题意，则一定会在上述循环中返回正确答案，不会执行至此
    }
};

使用异或

选此题作为我第一篇题解的原因。一是此题与我有一点点缘分，曾经花了一点时间尝试讲解此题；二是个人感觉此种解法之前如果没听过，那九成是想不到的，而一旦理解了，也不是那么容易忘。我就来试试自己能不能把它讲明白。此题最终被归类为简单，但是异或的解法还是需要思考一下才能理解的。
比起其他算法大类，此解只能算是特定题目的一种取巧的方法，不知道有没有实用的地方，就当学来发散一下思维好了。

先上代码吧，把所有数组中的数字逐一异或，最终所得结果即是只出现了一次的数字。时间复杂度O(n),空间复杂度O(1)。

class Solution {
public:
    int singleNumber(vector<int>& nums) {
        int result=0;
        for(int i=0;i<nums.size();++i)
        {
            result^=nums[i];
        }
        return result;
    }
};

我第一次了解这个方法的时候就是很神奇，很懵……所以以下展开讲解

关于异或

异或是位运算的一种，在c++中符号为 “^”。对 一个 二进制位来说有着相同为0，不同为1的特点，用表达式来表示则是：
0^0=0;
1^1=0;
0^1=1;
1^0=1;
对于多个二进制位的数字来说，有异或0等于自身，异或自身等于0的特点：
a^0=a;
a^a=0;
展开一个数字参照上述一个数字位的规则就理解了。以数字13为例，13的二进制表示为1101。

  1101                    1101
 ^1101                   ^0000
 -------                 ------
  0000                    1101

至于不同十进制数异或的结果有什么意义此处我们并不关心。

异或的交换律和结合律

参照上述展开竖式的做法，相信可以理解以下表达式：

a^b=b^a;
(a^b)^c=a^(b^c);

以13^7和7^13为例验证一下交换律吧，13的二进制位1101,7的二进制为111,可以看到最终结果相同，满足交换律

 1101                0111
^0111               ^1101
-------            --------
 1010                1010

解题

下面就是利用上述规律来得出答案了

假设题目所给数组为[1,3,2,4,2,1,4],
我们按照算法逐一异或其中数字
1^3^2^4^2^1^4
由交换律和结合律，我们将此式变形为：
（1^1）^(2^2)^(4^4)^3
=0^0^0^3
=3
最终3即为答案，是不是很神奇？

位运算的优势

位运算可以说是计算机最底层的操作了，可以直接通过硬件实现，相比四则运算等来说，效率要高一些，其他运算一般需要通过数次位运算才能完成。
在leetcode 540.有序数组中的单一元素一题中，官方添加了有序的条件使得题目可以有 O(logN) 复杂度的解法，但是以目前官方用例的规模来说，速度还不及O(N)的位运算快。我没有去验证用例的规模，我觉得也未必是规模不够大，可能是常规四则运算需要位运算的次数之多，使得算法常系数较大，在相当的规模内，效率都不及位运算，也推荐你自己去做一遍感受一下。

曾经在一本书中看过，当选取问题规模N的角度不同时，可能相同算法的时间复杂度会有不同的结论。比如是以自然数的数字大小作为N,还是以计算机中数字二进制位数为N。这个问题感觉还是有些深奥的，没有细研究不在此展开，只是突然想到如果是问题规模选取不合理，那表面上O(logN)复杂度的算法始终没有O(N)的效率高也是有可能的。

所以当问题规模较大时，合理使用位运算除了炫技，感觉还是有一定实用性的。
一些小的技巧：判断奇偶可以不使用求余符号%而使用&1操作，*2可以使用<<1，/2可以使用>>1（只针对int型）

进阶

在此基础上，如果数组中有两个数字只出现了一次，能否借助异或操作在O(n)的时间内找出答案呢？
leetcode 260.只出现一次的数字Ⅲ

如果其余数字出现了三次呢？
leetcode 137.只出现一次的数字Ⅱ

答案当然是可以啦！不过以上两道题使用利用位运算解题可以说难度比起此题来有一定的跨度，精选题解讲解的很好(图文并茂，官方有时讲的不够详细),之后可能会对其中难理解之处用自己的语言解释一下。