动态规划--每日一练（多重背包计数类DP）

P1077 [NOIP 2012 普及组] 摆花

1.题目描述

2.解题思路

3.代码展示

1.题目描述

小明的花店新开张，为了吸引顾客，他想在花店的门口摆上一排花，共 m 盆。通过调查顾客的喜好，小明列出了顾客最喜欢的 n 种花，从 1 到 n 标号。为了在门口展出更多种花，规定第 i 种花不能超过 ai​ 盆，摆花时同一种花放在一起，且不同种类的花需按标号的从小到大的顺序依次摆列。

试编程计算，一共有多少种不同的摆花方案。

输入格式

第一行包含两个正整数 n 和 m，中间用一个空格隔开。

第二行有 n 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，依次表示 a1​,a2​,⋯,an​。

输出格式

一个整数，表示有多少种方案。注意：因为方案数可能很多，请输出方案数对 106+7 取模的结果。

输入

2 4
3 2

输出

2

说明/提示

【数据范围】

对于 20% 数据，有 0

对于 50% 数据，有 0

对于 100% 数据，有 0

NOIP 2012 普及组 第三题

2.解题思路

本题题意是要从1~ n 种花中选花，总盆数为m，每一种花的数量上限为a[ i ]，求选花的总方案数。由此可以惊奇的发现本题可以套用多重背包计数类DP的思路。

解题步骤：

1. 状态定义：在计数类DP中，dp[ i ][ j ]中 i 表示前 i 个元素，j 表示约束条件，在本题中约束条件为总盆数为 m 盆，因此dp[ i ][ j ]表示从前 i 盆中选花且总盆树恰好为 m 盆的方案数。
2. 状态表示:   
   1. dp[ i ][ j ] += dp[ i - 1][ j ]  （第一步：加上不放第 i  盆花时的方案数）；
   2. dp[ i ][ j ] += dp[ i - 1][ j - k]  ( k=1 , 2 , 3 , 4 .....a[ i ] )（第二步：加上放第 i  盆花时的方案数）；

3.代码展示

#include
#include
#include
#include
#define int long long
using namespace std;

const int MOD = 1e6 + 7;  // 题目要求的模数

int n, m, a[105];
int dp[105][105];  // dp[i][j]表示前i种花，摆了j盆的方案数

void cal() {
    // 初始化：0种花摆0盆有1种方案，其他为0
    dp[0][0] = 1;

    // 状态转移
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 0; j <= m; j++) {

            for (int k = 0; k <= a[i] && k <= j; k++) {
                dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i - 1][j - k]) % MOD;  // 累加方案数并取模
            }
        }
    }

    cout << dp[n][m] % MOD << endl;  // 最终结果再次取模，确保非负
}

signed main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
    }
    cal();
    return 0;
}