P1379 八数码难题 题解（双向宽搜）

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简要题意：

给定一个 $3\times 3$ 的矩阵，每次可以把空格旁边（四方向）的一个位置移到空格上。求到目标状态的最小步数。

前置知识：

单向宽搜的写法

$\text{OK}$，现在我们来考虑双向宽搜。

假设 $A$ 和 $B$ 两个人被困在了迷宫的两个角落，现在他们首先要互相找到对方；他们都会分身术。你认为下面哪一种方法最快：

• $A$ 主动分身去各个路口分支找 $B$，$B$ 原地待命。

• $B$ 主动分身去各个路口分支找 $A$，$A$ 原地待命。

• $A$ 和 $B$ 同时分身去各个路口分支找对方。

无可厚非是最后一种方法最快。但请不要误解：现实生活中我们提倡前两种方案，因为现实中没有人会分身的。

诚然，互相找的效率是最高的。可是你可能会问了：

假设一共 $4$ 步找到对方，两人各走 $2$ 步和一个人找 $4$ 步不是一样的吗？

粗想一下，确实如此。但是在 爆炸性指数级的压力 之下，完全不同。

就在这个问题的基础上，假设每走 $1$ 步都有 $4$ 种选法（即四方向）。

那么，一个人找的时间是 $4^4=256$.

两个人同时找对方的时间是 $4^2+4^2=32$.

数据说明，快了 $8$ 倍。这单是 $4$ 步就快了 $8$ 倍！

经过粗略的计算，假设一共要走 $20$ 步的话，双向找比单向快 $524288$ 倍，约 $5.2\times 10^5$，假设时间限制是 $1s$ 的话，显然这两个程序的分数是有着极大差异的！

这是因为，双向搜索在本质上把步数减半了，而 在指数上减半会让幂大大降低，因此双向搜索会更快。

那么双向搜索适用于哪些题目呢？

• 明确知道起点和终点的。比方说这种题（现编的）：

对于已知的一个数，每次可以将其连续 k 个数字同时 +1.
求让它至少有 p 位连续相同的步数。

显然，终点不明确，无法搜索。你不可能把所有的终点都枚举一遍。

• 明确知道搜索深度的。即明确知道多少步会走到。比方说 埃及分数：

将一个分数分解为若干分数的和。有一些分母不能使用。

显然，你不知道会分解成多少个分数。因此本题需要使用 迭代加深搜索（IDDFS） 而非 $\text{bfs}$.

然后，那你会问了：八数码这一题，我也不知道最多会有多少步呀？

• 那么，你不会自己随机造吗？

• 我怎么造啊？

• 用随机种子搞一个