动态规划经典三题_完全平方数

279. 完全平方数

给你一个整数 n ，返回 和为 n 的完全平方数的最少数量 。

完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。

示例 1：

输入：n = 12
输出：3 
解释：12 = 4 + 4 + 4

示例 2：

输入：n = 13
输出：2
解释：13 = 4 + 9

方法一、记忆化搜索

@cache  # 缓存装饰器，避免重复计算 dfs 的结果（记忆化）
def dfs(i: int, j: int) -> int:
    if i == 0:
        return inf if j else 0
    if j < i * i:
        return dfs(i - 1, j)  # 只能不选
    return min(dfs(i - 1, j), dfs(i, j - i * i) + 1)  # 不选 vs 选

class Solution:
    def numSquares(self, n: int) -> int:
        return dfs(isqrt(n), n)

---

以下是漫长的步骤详解，不理解具体算法如何递归的可以看，理解的大佬可以直接跳过~~

示例解析：n = 12

我们重点分析每一步递归调用中参数的变化过程，并理解为什么最终返回的是 3。

第一步：初始调用

dfs(3, 12)

因为 isqrt(12) = 3，所以最大的平方数是 3*3=9。

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Step 1: dfs(3, 12)

判断：

• i == 0 ❌
• j < i*i → 12 < 9 ❌

进入分支：

min(dfs(2, 12), dfs(3, 12 - 9) + 1) = min(dfs(2,12), dfs(3,3)+1)

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Step 2: dfs(2, 12)

继续递归：

• i == 0 ❌
• 12 < 4 ❌

min(dfs(1,12), dfs(2, 12 - 4) + 1) = min(dfs(1,12), dfs(2,8)+1)

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Step 3: dfs(1,12)

继续递归：

• i == 0 ❌
• 12 < 1 ❌

min(dfs(0,12), dfs(1,12 - 1)+1) = min(inf, dfs(1,11)+1)

由于 dfs(0,12) = inf，所以只考虑右边。

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Step 4: dfs(1,11)

继续递归：

• i == 0 ❌
• 11 < 1 ❌

min(dfs(0,11), dfs(1,10)+1)

继续下去会一直递归到 dfs(1, 0)。

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Step N: dfs(1, 0)

• i == 0 ✔️
• j == 0 ✔️
• 返回 0

所以：

• dfs(1, 1) = dfs(1, 0) + 1 = 0 + 1 = 1
• dfs(1, 2) = dfs(1, 1) + 1 = 1 + 1 = 2
• ...
• dfs(1, 11) = 11（需要 11 个 1）

所以回到：

• dfs(1,12) = dfs(1,11) + 1 = 12

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回到 Step 3: dfs(2,8)

尝试用 2² = 4

dfs(2, 8) = min(dfs(1,8), dfs(2,4)+1)

继续分析 dfs(2,4)：

• i = 2, j = 4
• 4 >= 4，可以减去 4

dfs(2,4) = min(dfs(1,4), dfs(2,0)+1)

• dfs(2,0) = 0
• dfs(1,4) = 4（4个1）
• 所以 dfs(2,4) = min(4, 0+1) = 1

因此：

• dfs(2,8) = min(dfs(1,8)=8, dfs(2,4)+1=2) = 2

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回到 Step 2: dfs(2,12)

• dfs(2,12) = min(dfs(1,12)=12, dfs(2,8)+1=3) = 3

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回到 Step 1: dfs(3,12)

• dfs(3,12) = min(dfs(2,12)=3, dfs(3,3)+1)
• 现在分析 dfs(3,3)：

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Step X: dfs(3,3)

• i=3, j=3
• i*i = 9 > 3 → 进入 dfs(2,3)

继续：

• i=2, j=3
• 4 > 3 → dfs(1,3)

继续：

• i=1, j=3
• 1 <= 3 → min(dfs(0,3), dfs(1,2)+1)
• dfs(0,3) = inf
• dfs(1,2) = min(dfs(0,2), dfs(1,1)+1) = min(inf, 1+1) = 2
• 所以 dfs(1,3) = 3

最终：

• dfs(3,3) = 3
• dfs(3,12) = min(3, 3+1=4) = 3

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✅ 最终结果：

dfs(3, 12) = 3

也就是：

12 = 4 + 4 + 4，用了 3 个完全平方数。

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总结：每一步数值变化如下

调用	参数 (i, j)	返回值
dfs(3,12)	i=3,j=12	min(dfs(2,12), dfs(3,3)+1) = min(3, 3+1) = 3
dfs(2,12)	i=2,j=12	min(dfs(1,12), dfs(2,8)+1) = min(12, 2+1) = 3
dfs(1,12)	i=1,j=12	dfs(1,11)+1 = 11+1 = 12
dfs(2,8)	i=2,j=8	min(dfs(1,8), dfs(2,4)+1) = min(8, 1+1) = 2
dfs(2,4)	i=2,j=4	min(dfs(1,4), dfs(2,0)+1) = min(4, 0+1) = 1
dfs(3,3)	i=3,j=3	dfs(2,3) = dfs(1,3) = 3

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补充说明：

• @cache 是 Python 的装饰器，用于缓存函数调用结果，避免重复计算。
• inf 是浮点型无穷大，在 Python 中用于表示不可能的情况。
• isqrt(n) 是 Python 内置函数，返回不大于 √n 的最大整数（比 int(math.sqrt(n)) 更精确）。

322. 零钱兑换

给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。

计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

示例 1：

输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11

输出：3

解释：11 = 5 + 5 + 1

示例 2：

输入：coins = [2], amount = 3

输出：-1

示例 3：

输入：coins = [1], amount = 0

输出：0

class Solution:
    def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
        n = len(coins)
        f = [[inf] * (amount + 1) for _ in range(2)]
        f[0][0] = 0
        for i, x in enumerate(coins):
            for c in range(amount + 1):
                if c < x:
                    f[(i + 1) % 2][c] = f[i % 2][c]
                else:
                    f[(i + 1) % 2][c] = min(f[i % 2][c], f[(i + 1) % 2][c - x] + 1)
        ans = f[n % 2][amount]
        return ans if ans < inf else -1

2787. 将一个数字表示成幂的和的方案数

给你两个正整数 n 和 x 。

请你返回将 n 表示成一些 互不相同 正整数的 x 次幂之和的方案数。换句话说，你需要返回互不相同整数 [n1, n2, ..., nk] 的集合数目，满足 n = n1x + n2x + ... + nkx 。

由于答案可能非常大，请你将它对 109 + 7 取余后返回。

比方说，n = 160 且 x = 3 ，一个表示 n 的方法是 n = 23 + 33 + 53 。

示例 1：

输入：n = 10, x = 2
输出：1
解释：我们可以将 n 表示为：n = 32 + 12 = 10 。
这是唯一将 10 表达成不同整数 2 次方之和的方案。

示例 2：

输入：n = 4, x = 1
输出：2
解释：我们可以将 n 按以下方案表示：
- n = 41 = 4 。
- n = 31 + 11 = 4 。

class Solution:
    def numberOfWays(self, n: int, x: int) -> int:
        f = [1] + [0] * n  # 初始化DP数组：f[s] 表示组成和为 s 的方案数
        # 初始状态：f[0] = 1，表示“和为0”的方案就是啥也不选
        
        for i in range(1, n + 1):  # 枚举所有底数 i（1 到 n）
            v = i ** x  # 当前考虑的数是 i 的 x 次幂
            if v > n:   # 如果这个数太大，跳出循环
                break
                
            # 倒序遍历（0/1背包）从 n 到 v
            for s in range(n, v - 1, -1):
                f[s] += f[s - v]  # 转移方程：将 v 加入组合中，组成 s
                
        return f[n] % 1_000_000_007  # 返回最终和为 n 的方案数

总结思路：

步骤	内容
初始化 f[0] = 1	和为 0 有 1 种方式（空集）
枚举 i = 1...n	将 i 的 x 次幂作为候选数
倒序更新 DP 数组	保证每个数最多用一次（0/1背包）
更新 f[s] += f[s - v]	表示：新方案 = 旧方案 + 使用 v 的方案
取模	避免大数溢出