线性代数：相似矩阵

相似矩阵

此为笔者考研复习拙见，如有错误，望各位读者不惜笔墨不啬赐教，感激不尽！

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一、特征值和特征向量

定义：设 $A$ 为 n 阶矩阵，若 $A\alpha =\lambda \alpha (\alpha \ne 0)$ ，则称 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，$\alpha$ 是属于 $\lambda$ 的特征向量（$\lambda$ 对应的特征向量为 $k_1{\alpha }_1+\cdots +k_s{\alpha }_s$ )

将该式变形可以得到 $(\lambda E-A)\alpha =0,\alpha \ne 0$ 即齐次线性方程组 $(\lambda E-A)\alpha =0$ 有非零解

而行列式 $|\lambda E-A|$ 也称为 $A$ 的特征多项式，$|\lambda E-A|={\lambda }^n-{\sum }_{i=1}^n{a}_{ii}{\lambda }^{n-1}+\cdots +(-1{)}^n|A|$

求解特征值与特征向量

1. 解方程 $|\lambda E-A|=0$ 或解方程组 $(\lambda E-A)\alpha =0$
2. 利用定义 $A\alpha =\lambda \alpha$ (一般题目会给出多个向量间的关系，写成矩阵相乘利用相似更加方便)

特征值的性质

由特征多项式，结合韦达定理可以得到

1. ${\lambda }_1+\cdots +{\lambda }_n={\sum }_{i=1}^n{a}_{ii}=\mathrm{tr}(A)$ 其中 $\mathrm{tr}(A)$ 称为 $A$ 的迹
2. ${\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n=|A|$

特征向量的性质

1. $A$ 不同特征值对应的特征向量线性无关
2. ${\lambda }_k$ 为 $A$ 的 k 重特征值，(k >= 1) 则属于 ${\lambda }_k$ 的线性无关的特征向量的个数不超过 k 个

二、相似矩阵

定义：设 $A{\alpha }_i={\lambda }_i{\alpha }_i(i=1,2,\cdots ,n)$ ，则

$A({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n)=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n)\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)$

当 ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$ 都线性无关时，即 $P=({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)$ 可逆，记 $\Lambda =\mathrm{diag}({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n)$ 则$P^{-1}AP=\Lambda \iff A\sim \Lambda$

A相似于对角阵的条件

1. 充分条件：$A$ 有 n 个不同的特征值
2. 充要条件：$A$ 有 n 个线性无关的特征向量
3. 充要条件：$A$ 的 k 重特征值对应 k 个线性无关的特征向量

相似定义：若存在可逆阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP=B$ 则称 $A$ 相似于 $B$

特征值和特征向量的常用结论

下列 $f$ 为多项式函数，结论均可用定义验证

矩阵	$A$	$A^n$	$A+kE$	$f(A)$	$A^{-1}$	$A^{\ast }$	$P^{-1}AP$	$A^T$
特征值	$\lambda$	${\lambda }^n$	$\lambda +k$	$f(\lambda )$	${\lambda }^{-1}$	$\frac{|A|}{\lambda }$	$\lambda$	$\lambda$
特征向量	$\alpha$	$\alpha$	$\alpha$	$\alpha$	$\alpha$	$\alpha$	$P^{-1}\alpha$	/

相似阵的性质

1. $A^T\sim B^T$
2. $A^n\sim B^n$
3. $f(A)\sim f(B)$ 其中 $f$ 是多项式函数
4. 当 $A$ 可逆时， $A^{-1}\sim B^{-1}$ 、 $A^{\ast }\sim B^{\ast }$
5. $A\sim B\Rightarrow |\lambda E-A|=|\lambda E-B|$ (相似阵特征值相同，特征值相同矩阵不一定相似)

三、实对称矩阵

定义：$A$ 是 n 阶实矩阵，且 $A^T=A$ 则称 $A$ 为实对称矩阵

实对称矩阵的对角化

1. 实对称矩阵必相似于对角阵
2. 实对称矩阵可以用正交阵对角化
3. 实对称阵不同特征值的特征向量相互正交
4. 实对称的特征值必为实数

实对称矩阵利用正交阵对角化

1. 求 $A$ 的特征值
2. 求 $A$ 的特征向量
3. 若 $A$ 存在多重特征向量，则对该多重进行施密特正交化
4. 对所有特征向量做单位化
5. 依对应特征值顺序组成正交阵 $Q$ ，有 $Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=\Lambda$

四、相似阵确定参数

确定参数的一般情况

1. $A_{n\times n}\sim B_{n\times n}\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& |A|=|B|,\\ & \mathrm{tr}(A)=\mathrm{tr}(B)\end{array}$
2. 已知 ${\lambda }_0$ 是 $A$ 的一个特征值，则 $|{\lambda }_{0}E-A|=0$
3. ${\alpha }_0$ 是 $A$ 的一个特征向量，则 $A{\alpha }_0=\lambda {\alpha }_0$ (解方程组)
4. 对 n 阶矩阵 $A$，$\mathrm{r}(A)<n\Rightarrow |A|=0$ (常用方法)
5. $|\lambda E-A|=|\lambda E-B|$ 且 $A$ 、 $B$ 都是实对称矩阵，则 $A\sim B$

矩阵相似的必要条件

$A\sim B\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& |A|=|B|,\\ & \mathrm{tr}(A)=\mathrm{tr}(B),\\ & \mathrm{r}(A)=\mathrm{r}(B),\\ & |\lambda E-A|=|\lambda E-B|,\\ & A、B有相同的特征值且对应重数一致\end{array}$