【华为OD机考真题】- 矩阵匹配(2025B卷-200分)（Python版）

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1. 题目描述

具体题目描述如下：

从一个 N*M (N≤M) 的矩阵中选出 N 个数，任意两个数字不能在同一行或同一列，求选出来的 N 个数中第 K 大的数字的最小
值是多少。

2. 输入描述

输入矩阵要求：1 ≤ K ≤ N ≤ M ≤ 150
输入格式：
N M K
N*M 矩阵

️3. 输出描述

N*M 的矩阵中可以选出 M! / N! 种组合数组，每个组合数组种第 K大的数中的最小值。无需考虑重复数字，直接取 字典排序 结果
即可。
备注：
注意：结果是第K大的数字的最小值。

4. 示例演示

✨4.1 示例1

输入：

3 4 2
1 5 6 6
8 3 4 3
6 8 6 3

输出：

3

示例说明：
N*M的矩阵中可以选出 M!/N!种组合数组，每个组合数组种第 K大的数中的最小值;
上述输入中选出数组组合为:

1,3,6
1,3,3
1,4,8
1,4,3

上述输入样例中选出的组合数组有24种，最小数组为1,3,3，则第2大的最小值为3。

✨4.2 示例2

输入：

输出：

示例说明：

✨4.3 示例3

输入：

输出：

示例说明：

温馨提醒： 大家在参加华为OD机试时，切记不要仅仅死记硬背题解代码。真正的通过率取决于你对代码的理解能力。建议你在理解基本原理和逻辑的基础上，模仿并自己编写代码，这样才能更有效地应对机试。

5. 解题分析

5.1 问题理解

题目要求从一个 N x M 的矩阵中选出 N 个数，要求选出的数字不能在同一行或同一列，并且要求找到这些选出的数字中第 K 大的数字的最小值。需要根据这个问题来构建一种方案，使得能够在所有的合法选择中找到最小的第 K 大值。

• 输入：

  • N：选择的数字个数。
  • M：矩阵的列数。
  • K：需要找到的第 K 大的数字。
  • 矩阵的 N x M 大小，包含整数值。

• 输出：

  • 找到的最小的第 K 大的数字。

5.2 解题思路

1. 题目解构：

   • 我们需要从 N x M 的矩阵中选择 N 个数字，且要求这 N 个数字中每个数字必须来自不同的行和列。这样每个选择都可以看作是一个有效的矩阵选择。
   • 选出的 N 个数字中，我们要找出第 K 大的数字中的最小值。

2. 基本方法：

   • 二分查找：根据题意，我们可以通过二分查找来确定一个数字 x，然后通过构建一个图来检查是否可以在矩阵中选出 N 个不同行、不同列的数字，使得这些数字都小于或等于 x。
   • 最大匹配：利用二分查找的过程中，对于每个 x，通过构建一个二分图（bipartite graph），通过图的最大匹配来判断是否能选出 N 个数字满足条件。具体地，我们通过DFS（深度优先搜索）来实现图中的匹配操作。

3. 详细步骤：

   • 对于每个可能的 x，构建一个二分图。图的每个节点表示矩阵中的行或列，如果某个数字小于等于 x，则我们在该数字所在的行和列之间建立一条边。
   • 通过最大匹配算法（如DFS）来判断是否能够在图中找到一个匹配，使得可以选出 N 个不同行、不同列的数字。
   • 通过二分查找来逐步缩小 x 的范围，最终找到最小的 K 大数字。

4. 二分查找的收敛：

   • 二分查找的上下界分别为 1 和矩阵中的最大值。通过反复测试中间值 mid，判断是否可以选出 N 个数，如果可以则更新结果，并缩小搜索区间。

5.3 问题考点

1. 二分查找：利用二分查找技术高效地找到目标数字。
2. 最大匹配算法：通过二分图和最大匹配判断是否能从矩阵中选出合适的 N 个数。
3. 图论：理解如何构建二分图并使用DFS来寻找最大匹配。
4. 复杂度分析：通过优化方法（如二分查找和最大匹配）保证算法在大规模输入下的高效性。

5.4 解题步骤

1. 读取输入数据：

   • 首先读取 N、M、K 的值，然后读取矩阵数据。

2. 二分查找初始化：

   • 设置二分查找的左右边界：l = 1 和 r = max(matrix)，其中 max(matrix) 是矩阵中所有元素的最大值。

3. 构建二分图和最大匹配：

   • 对于每一个 mid，构建一个二分图，其中图的边表示矩阵中哪些行和列的交叉点可以选中。
   • 使用DFS来判断是否可以在图中找到一个匹配，使得选出的 N 个数的值都小于等于 mid。

4. 二分查找核心逻辑：

   • 在二分查找过程中，通过调用最大匹配方法来判断当前的 mid 是否满足条件。如果满足，则可能存在更小的解，将 r 设置为 mid - 1，继续缩小搜索范围。否则，增大 mid，继续查找更大的解。

5. 返回结果：

   • 最终通过二分查找找到最小的第 K 大数字，输出结果。

6. 解题Coding

  根据如上题解思路，进行代码实战，大家请看如下，建议不要死记硬背代码，要理解其题型及实现思路，别担心，代码我都会给出超详细注释，你一定能看明白的。

✅6.1 代码实现(Python版)

class MatrixMatching:
    def __init__(self, n, m, k, a):
        self.n = n  # 行数
        self.m = m  # 列数
        self.k = k  # 最大不匹配数量
        self.V = 0
        self.match = [-1] * 1000
        self.used = [0] * 1000
        self.Graph = [[] for _ in range(1000)]  # 创建图

        self.a = a  # 输入的矩阵

    def add_edge(self, u, v):
        self.Graph[u].append(v)
        self.Graph[v].append(u)

    def dfs(self, v):
        self.used[v] = 1
        for u in self.Graph[v]:
            w = self.match[u]
            if w < 0 or (self.used[w] == 0 and self.dfs(w) == 1):
                self.match[v] = u
                self.match[u] = v
                return 1
        return 0

    def bipartite_matching(self):
        res = 0
        for i in range(len(self.match)):
            self.match[i] = -1
        for v in range(self.V):
            if self.match[v] < 0:
                self.used = [0] * 1000  # 重置used数组
                if self.dfs(v) == 1:
                    res += 1
        return res

    def check(self, x):
        self.V = self.n + self.m + 1
        for i in range(self.V):
            self.Graph[i].clear()
        for i in range(1, self.n + 1):
            for j in range(1, self.m + 1):
                if self.a[i][j] <= x:
                    self.add_edge(i, self.n + j)
        return self.bipartite_matching() >= self.n - self.k + 1

    def solve(self):
        l, r = 1, 1000000000
        ans = r
        while l <= r:
            mid = (l + r) >> 1
            if self.check(mid):
                r = mid - 1
                ans = mid
            else:
                l = mid + 1
        return ans


if __name__ == "__main__":
    n, m, k = map(int, input().split())  # 输入n, m, k
    a = [list(map(int, input().split())) for _ in range(n + 1)]  # 输入矩阵a

    matrix_matching = MatrixMatching(n, m, k, a)
    result = matrix_matching.solve()
    print(result)  # 输出结果

⏱6.2 时间&空间复杂度

时间复杂度：

• 二分查找部分的时间复杂度是 O(log(maxValue))，其中 maxValue 是矩阵元素的最大值，即 1,000,000,000。
• 对于每次二分查找的检查函数 check，需要运行 bipartite_matching 来检查最大匹配。bipartite_matching 采用的是深度优先搜索（DFS），在最坏情况下，每个节点需要进行匹配，DFS 的复杂度为 O(V + E)，其中 V 是图中顶点的数量，E 是边的数量。对于每次匹配，DFS 最多要遍历整个图。由于图是稠密的，最坏情况下的复杂度为 O(n * m)。
• 因此，总时间复杂度是 O(log(maxValue) * n * m)，其中 maxValue = 10^9，n 和 m 分别是矩阵的行和列数。

空间复杂度：

• 空间复杂度主要来自图结构存储和辅助数组：
  • Graph 用来存储图的邻接表，空间复杂度是 O(V + E)，其中 V 是顶点数，E 是边数。最大情况下，V 是 n + m + 1，而每个节点可能与其他节点都有边，因此最大边数是 n * m。
  • 辅助数组 match, used 和矩阵 a 占用的空间为 O(n + m) 和 O(n * m)，分别是常数和矩阵大小。
• 所以，空间复杂度为 O(n * m)。

⛓‍6.3 代码解析

1. 类初始化：

   • MatrixMatching 类接受矩阵的大小 n、m 和最大不匹配数量 k，并初始化相关的数据结构：match 数组（用于存储匹配结果），used 数组（用于 DFS 遍历时标记节点是否已访问），Graph（邻接表存储图的结构）以及矩阵 a（输入的矩阵）。

2. 添加边：

   • add_edge(u, v) 方法用于在图中添加一条边，表示两个节点之间有连接。

3. 深度优先搜索（DFS）：

   • dfs(v) 方法使用深度优先搜索来尝试为节点 v 寻找匹配。它递归地遍历图中与当前节点相连的节点，寻找未匹配或能够通过“增广路径”匹配的节点。

4. 二分查找与检查：

   • check(x) 方法通过二分查找确定最小的 x 值，使得可以在图中找到 n - k + 1 条匹配的边。它首先清空图的边，然后根据给定的 x 值添加满足条件的边，最后通过最大匹配算法验证是否能找到足够的匹配。

5. 主程序逻辑：

   • solve() 方法实现了二分查找的逻辑，查找最小的 x，使得满足条件的匹配数量达到要求，并返回结果。

6. 输入输出：

   • 输入部分通过 map(int, input().split()) 获取 n、m、k 的值，并通过嵌套列表解析输入矩阵 a。
   • 最后输出最小值 ans，即满足条件的最小 x 值。

6.4 小结

• 该问题涉及到一个最大匹配算法，通过二分查找和深度优先搜索实现图的匹配。核心思想是通过二分查找最小的边权值 x，使得在这个条件下，能找到足够的匹配。
• 时间复杂度受二分查找的影响，并且在每次二分查找时运行 O(n * m) 的最大匹配算法。空间复杂度主要由图的存储和辅助数组构成，整体复杂度为 O(n * m)。

7. 附录源码（Java版）

  针对如上分享OD机试真题之外，这里我还开源全部OD机试原真题源码，供同学们一对一学习！对照每题都有题目号及详细代码注释。Gitee，例如题序号为1，则题解代码对应文件夹OD1，题序号为5，则题解代码对应文件夹OD5，以此类推，目的就是为了方便大家学习，一举上岸！(这里的题序号指专栏导航贴中表格一列的序号)

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