粒子滤波器解读

粒子滤波器解读

引言

粒子滤波器是一种强大的非线性滤波技术，用于估计动态系统的状态。与卡尔曼滤波器不同，粒子滤波器可以处理任意的非线性性和非高斯性，这使其在机器人定位、目标跟踪、计算机视觉等领域得到广泛应用。

基本概念

粒子滤波器的核心思想是使用一组加权样本（称为"粒子"）来近似目标状态的后验概率分布。每个粒子代表状态空间中的一个可能状态，而其权重则表示该状态的可能性或概率。想象在一个迷雾中的森林里寻找宝藏。你不确定宝藏的确切位置，但有一个不太准确的地图和一个不太可靠的金属探测器。粒子滤波器就像派出多个搜索小组（粒子）在不同位置搜索，根据每组获得的金属探测器信号强度（观测值）来判断哪些区域更可能藏有宝藏。随着时间推移，你会让更多的搜索小组前往信号较强的区域，从而逐渐缩小搜索范围。

深入数学基础

贝叶斯滤波框架

粒子滤波器基于贝叶斯滤波框架，我们首先定义完整的数学表示。对于一个马尔可夫动态系统，我们的目标是在给定所有历史观测 $z_{1:t}$ 的情况下，估计状态变量 $x_t$ 的后验概率分布 $p(x_t|z_{1:t})$。

根据贝叶斯定理，我们有：

$$p(x_t|z_{1:t})=\frac{p(z_t|x_t)p(x_t|z_{1:t-1})}{p(z_t|z_{1:t-1})}$$

其中分母是归一化常数，可以表示为：

$$p(z_t|z_{1:t-1})=\int p(z_t|x_t)p(x_t|z_{1:t-1})d{x}_t$$

先验分布 $p(x_t|z_{1:t-1})$ 通过Chapman-Kolmogorov方程计算：

$$p(x_t|z_{1:t-1})=\int p(x_t|x_{t-1})p(x_{t-1}|z_{1:t-1})d{x}_{t-1}$$

贝叶斯递归估计可以分解为两个阶段：预测和更新。

预测阶段：
$$p(x_t|z_{1:t-1})=\int p(x_t|x_{t-1})p(x_{t-1}|z_{1:t-1})d{x}_{t-1}$$

更新阶段：
$$p(x_t|z_{1:t})=\frac{p(z_t|x_t)p(x_t|z_{1:t-1})}{p(z_t|z_{1:t-1})}$$

蒙特卡洛近似

当状态转移和观测模型高度非线性或非高斯时，以上积分通常难以解析求解。粒子滤波使用蒙特卡洛方法来近似后验分布。

考虑任意函数 $g(x)$ 关于分布 $p(x)$ 的期望：

$$E[g(x)]=\int g(x)p(x)dx$$

如果我们有从分布 $p(x)$ 中抽取的 $N$ 个独立同分布样本 $\{x^i{\}}_{i=1}^N$，则可以近似计算：

$$E[g(x)]\approx \frac{1}{N}\sum _{i=1}^{N}g(x^i)$$

当 $N\to \infty$ 时，根据大数定律，这个近似会收敛到真实值。

序贯重要性采样

然而，在实践中通常难以直接从后验分布 $p(x_t|z_{1:t})$ 中采样。因此，粒子滤波器使用重要性采样技术，从一个更容易采样的提议分布 $q(x_t|x_{t-1},z_t)$ 中抽取样本，然后通过权重调整来修正这种近似。考虑序贯估计问题中的完整状态轨迹 $x_{0:t}$，我们希望从 $p(x_{0:t}|z_{1:t})$ 中采样。采用提议分布 $q(x_{0:t}|z_{1:t})$，重要性权重定义为：

$$w_t=\frac{p(x_{0:t}|z_{1:t})}{q(x_{0:t}|z_{1:t})}$$

假设提议分布可以分解为：
$$q(x_{0:t}|z_{1:t})=q(x_t|x_{0:t-1},z_{1:t})q(x_{0:t-1}|z_{1:t-1})$$

并且状态满足马尔可夫性质，观测条件独立，则：
$$p(x_{0:t}|z_{1:t})\propto p(z_t|x_t)p(x_t|x_{t-1})p(x_{0:t-1}|z_{1:t-1})$$

结合上述两式，我们可以递归地计算权重：

$$w_t=w_{t-1}\frac{p(z_t|x_t)p(x_t|x_{t-1})}{q(x_t|x_{0:t-1},z_{1:t})}$$

通常，我们选择状态转移概率作为提议分布，即 $q(x_t|x_{0:t-1},z_{1:t})=p(x_t|x_{t-1})$，这种情况下权重简化为：

$$w_t=w_{t-1}p(z_t|x_t)$$

归一化后的权重为：

$${\tilde{w}}_t^i=\frac{w_t^i}{{\sum }_{j=1}^N{w}_t^j}$$

退化问题与克拉默-拉奥下界

在序贯重要性采样中，随着时间的推移，权重方差会不断增大，导致大多数粒子的权重接近于零，这称为粒子退化问题。可以证明，在最优提议分布 $q^{\ast }(x_t|x_{t-1},z_t)=p(x_t|x_{t-1},z_t)$ 下，权重方差最小。

最优提议分布可以表示为：

$$p(x_t|x_{t-1},z_t)=\frac{p(z_t|x_t)p(x_t|x_{t-1})}{p(z_t|x_{t-1})}$$

其中：

$$p(z_t|x_{t-1})=\int p(z_t|x_t)p(x_t|x_{t-1})d{x}_t$$

使用最优提议分布时，权重更新公式变为：

$$w_t=w_{t-1}p(z_t|x_{t-1})=w_{t-1}\int p(z_t|x_t)p(x_t|x_{t-1})d{x}_t$$

粒子滤波器的性能可以通过克拉默-拉奥下界（CRLB）来分析，它提供了无偏估计器方差的下界：

$$\text{Var}(\hat{\theta })\ge \frac{1}{I(\theta )}$$

其中 $I(\theta )$ 是费舍信息量，定义为：

$$I(\theta )=E\left[{\left(\frac{\partial }{\partial \theta }\log p(x|\theta )\right)}^2\right]=-E\left[\frac{{\partial }^2}{\partial {\theta }^2}\log p(x|\theta )\right]$$

对于粒子滤波器，可以推导出粒子数量 $N$ 与估计方差之间的关系：

$$\text{Var}({\hat{x}}_t)\propto \frac{1}{N}$$

Fokker-Planck-Kolmogorov方程与粒子动力学

考虑连续时间动态系统，状态演化可以通过随机微分方程（SDE）描述：

$$d{x}_t=f(x_t,t)dt+G(x_t,t)d{W}_t$$

其中 $W_t$ 是维纳过程。状态的概率密度函数 $p(x,t)$ 满足Fokker-Planck-Kolmogorov方程：

$$\frac{\partial p(x,t)}{\partial t}=-\sum _{i=1}^n\frac{\partial }{\partial x_i}[f_i(x,t)p(x,t)]+\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\frac{{\partial }^2}{\partial x_i\partial x_j}[(G{G}^T{)}_{ij}p(x,t)]$$

粒子滤波器可以看作是通过蒙特卡洛方法直接求解该偏微分方程。

粒子滤波算法步骤

粒子滤波器的实现包括以下几个步骤：

1. 初始化

在时间 t=0，从先验分布 $p(x_0)$ 中采样 N 个粒子 $\{x_0^i{\}}_{i=1}^N$，并将每个粒子的权重初始化为 $w_0^i=1/N$。

对于 i = 1 到 N:
    从先验分布 p(x_0) 中采样 x_0^i
    设置 w_0^i = 1/N

2. 预测步骤

在时间 t，根据状态转移模型 $p(x_t|x_{t-1})$ 预测每个粒子的新状态：

对于 i = 1 到 N:
    从状态转移概率 p(x_t|x_{t-1}^i) 中采样 x_t^i

在实践中，这通常涉及将过程噪声添加到确定性状态转移函数中：

$$x_t^i=f(x_{t-1}^i)+v_t^i$$

其中 $f$ 是状态转移函数，$v_t^i$ 是过程噪声。

3. 更新步骤

收到观测值 $z_t$ 后，根据观测模型 $p(z_t|x_t)$ 更新每个粒子的权重：

对于 i = 1 到 N:
    计算 w_t^i = w_{t-1}^i * p(z_t|x_t^i)

然后对权重进行归一化：

sum_w = 总权重之和
对于 i = 1 到 N:
    w_t^i = w_t^i / sum_w

4. 重采样步骤

重采样是粒子滤波器中的关键步骤，用于解决粒子退化问题。当大多数粒子的权重接近于零时，只有少数粒子对状态估计有实际贡献，这降低了算法的有效性。重采样的思想是根据粒子的权重对它们进行重新采样，舍弃低权重粒子，复制高权重粒子：

计算有效粒子数 N_eff = 1 / 在和(w_t^i^2)

如果 N_eff < 阈值:
    从离散分布 P(i) = w_t^i 中抽取 N 个样本
    重置所有粒子权重为 1/N

常用的重采样方法包括多项式重采样、系统重采样和残差重采样等。

5. 状态估计

最后，我们可以根据加权粒子集合估计系统状态。最常用的方法是计算加权平均：

$${\hat{x}}_t=\sum _{i=1}^N{w}_t^i{x}_t^i$$

或者选择权重最大的粒子作为估计值：

$${\hat{x}}_t=x_t^{i^{\ast }}，i^{\ast }=\arg \underset{i}{\max }{w}_t^i$$

理论深化与数学扩展

渐近性质与中心极限定理

粒子滤波器的渐近性质可以通过中心极限定理进行分析。当粒子数量 $N$ 趋于无穷时，蒙特卡洛近似的误差 ${\epsilon }_N$ 满足：

$$\sqrt{N}{\epsilon }_N\stackrel{d}{}\mathcal{N}(0,{\sigma }^2)$$

其中 ${\sigma }^2$ 是依赖于真实后验分布和提议分布的方差项。具体地，对于任意可积函数 $\varphi$，有：

$$\sqrt{N}\left(\sum _{i=1}^N{w}_t^i\varphi (x_t^i)-\int \varphi (x)p(x|z_{1:t})dx\right)\stackrel{d}{}\mathcal{N}(0,{\sigma }_{\varphi }^2)$$

其中渐近方差 ${\sigma }_{\varphi }^2$ 可以表示为：

$${\sigma }_{\varphi }^2=\int {\left(\varphi (x)-\int \varphi (x^{\prime })p(x^{\prime }|z_{1:t})d{x}^{\prime }\right)}^{2}p(x|z_{1:t})dx$$

高维空间中的退化现象

在高维状态空间中，粒子滤波器面临所谓的"维度灾难"。可以证明，为了维持固定的估计精度，所需的粒子数量随状态维度 $d$ 指数增长：

$$N\propto {\alpha }^d$$

其中 $\alpha >1$ 是一个常数。这种指数关系使得在高维空间中应用粒子滤波器变得计算上不可行。

从理论上可以证明，在高维空间中，粒子权重的变异系数（coefficient of variation）会随着维度的增加而指数增长：

$$\text{CV}(w_t)\propto e^{c\cdot d}$$

其中 $c>0$ 是一个常数，这导致了严重的权重退化。

李雅普诺夫稳定性分析

对于滤波系统的稳定性分析，可以使用李雅普诺夫方法。定义误差过程 $e_t=x_t-{\hat{x}}_t$，构造李雅普诺夫函数：

$$V(e_t)=e_t^{T}P{e}_t$$

其中 $P$ 是正定矩阵。如果存在正数 $\lambda$ 使得：

$$E[V(e_{t+1})|e_t]-V(e_t)\le -\lambda V(e_t)+C$$

其中 $C$ 是一个常数，则滤波器是均方稳定的。对于线性高斯系统，可以严格证明卡尔曼滤波器的稳定性。对于非线性系统，粒子滤波器的稳定性分析更为复杂，通常需要结合局部线性化和随机稳定性理论。

信息几何视角

从信息几何角度，可以将粒子滤波过程视为在概率分布流形上的演化。定义分布之间的Kullback-Leibler散度：

$$D_{KL}(p||q)=\int p(x)\log \frac{p(x)}{q(x)}dx$$

以及Fisher信息度量：

$$g_{ij}(\theta )=\int p(x|\theta )\frac{\partial \log p(x|\theta )}{\partial {\theta }_i}\frac{\partial \log p(x|\theta )}{\partial {\theta }_j}dx$$

预测步骤可以看作是在流形上沿着某个方向的演化，而更新步骤则是在观测约束下的投影。粒子表示可以看作是分布的离散近似，重采样步骤则是一种重新参数化过程。

数学公式解析

状态转移模型

状态转移模型描述了系统状态如何随时间演化。对于线性高斯系统，它可以表示为：

$$x_t=A{x}_{t-1}+B{u}_t+v_t$$

其中 $A$ 是状态转移矩阵，$B$ 是控制输入矩阵，$u_t$ 是控制输入，$v_t$ 是过程噪声，通常假设为均值为零的高斯白噪声，协方差为 $Q$。

对于非线性系统，状态转移可以表示为：

$$x_t=f(x_{t-1},u_t)+v_t$$

其中 $f$ 是非线性状态转移函数。

更一般地，考虑随机微分方程：

$$d{x}_t=f(x_t,t)dt+G(x_t,t)d{W}_t$$

其离散化形式可以通过Euler-Maruyama方法获得：

$$x_{t+\Delta t}=x_t+f(x_t,t)\Delta t+G(x_t,t)\sqrt{\Delta t}\mathcal{N}(0,I)$$

观测模型

观测模型描述了观测值与系统状态之间的关系。对于线性高斯系统，它可以表示为：

$$z_t=H{x}_t+w_t$$

其中 $H$ 是观测矩阵，$w_t$ 是观测噪声，通常假设为均值为零的高斯白噪声，协方差为 $R$。

对于非线性系统，观测模型可以表示为：

$$z_t=h(x_t)+w_t$$

其中 $h$ 是非线性观测函数。

在粒子滤波器中，似然函数 $p(z_t|x_t)$ 通常假设为高斯分布：

$$p(z_t|x_t)=\frac{1}{\sqrt{(2\pi {)}^n|R|}}\exp \left(-\frac{1}{2}(z_t-h(x_t){)}^T{R}^{-1}(z_t-h(x_t))\right)$$

其中 $n$ 是观测向量的维度，$|R|$ 是协方差矩阵 $R$ 的行列式。

对于更复杂的情况，可以考虑非参数似然模型，如基于核密度估计的：

$$p(z_t|x_t)=\sum _{j=1}^M{\alpha }_j{K}_H(z_t-h_j(x_t))$$

其中 $K_H$ 是带宽矩阵为 $H$ 的核函数，${\alpha }_j$ 是混合权重，满足 ${\sum }_{j=1}^M{\alpha }_j=1$。

有效粒子数

有效粒子数是评估粒子退化程度的指标，定义为：

$$N_{eff}=\frac{1}{{\sum }_{i=1}^N(w_t^i{)}^2}$$

当 $N_{eff}$ 接近于 $N$（粒子总数）时，表示所有粒子的权重大致相等；当 $N_{eff}$ 接近于 1 时，表示一个粒子占据了绝大多数权重，其他粒子几乎没有贡献。

可以证明 $N_{eff}$ 的期望值满足：

$$E[N_{eff}]\le N$$

等号当且仅当所有权重相等时成立。此外，有效粒子数与粒子权重方差的关系为：

$$N_{eff}=\frac{N}{1+N\cdot \text{Var}(w_t^{\ast })}$$

其中 $w_t^{\ast }$ 表示归一化前的粒子权重。

熵和互信息的角度

从信息论角度，可以定义后验分布的熵：

$$H[p(x_t|z_{1:t})]=-\int p(x_t|z_{1:t})\log p(x_t|z_{1:t})d{x}_t$$

以及观测与状态之间的互信息：

$$I(x_t;z_t|z_{1:t-1})=H[p(x_t|z_{1:t-1})]-H[p(x_t|z_{1:t})]$$

互信息量度量了新观测 $z_t$ 提供的信息量。更高的互信息意味着观测更有价值，能更有效地减少状态估计的不确定性。

实际应用示例：机器人定位

考虑一个简单的机器人定位问题，其中机器人在二维平面上移动，状态向量包括位置和朝向，即 $x_t=[x,y,\theta {]}^T$。

状态转移模型

假设机器人的运动模型为：

( x t y t θ t ) = ( x t − 1 + v ⋅ Δ t ⋅ cos ⁡ ( θ t − 1 ) y t − 1 + v ⋅ Δ t ⋅ sin ⁡ ( θ t − 1 ) θ t − 1 + ω ⋅ Δ t ) + v t \begin{pmatrix} x_t \\ y_t \\ \theta_t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{t-1} + v \cdot \Delta t \cdot \cos(\theta_{t-1}) \\ y_{t-1} + v \cdot \Delta t \cdot \sin(\theta_{t-1}) \\ \theta_{t-1} + \omega \cdot \Delta t \end{pmatrix} + v_t ​xt​yt​θt​​ ​= ​xt−1​+v⋅Δt⋅cos(θt−1​)yt−1​+v⋅Δt⋅sin(θt−1​)θt−1​+ω⋅Δt​ ​+vt​

其中 $v$ 是线速度，$\omega$ 是角速度，$\Delta t$ 是时间步长，$v_t$ 是过程噪声。

观测模型

假设机器人配备了激光传感器，可以测量到周围环境中的地标距离，观测模型为：

$$z_t^j=\sqrt{(x_t-l_x^j{)}^2+(y_t-l_y^j{)}^2}+w_t^j$$

其中 $(l_x^j,l_y^j)$ 是第 $j$ 个地标的位置，$w_t^j$ 是观测噪声。

算法实现

1. 初始化：随机生成 N 个粒子，表示机器人可能的初始位置和朝向。

2. 预测：根据机器人的运动命令（$v$ 和 $\omega$）和状态转移模型，预测每个粒子的新状态。

3. 更新：根据激光传感器的观测值和观测模型，计算每个粒子的权重。

4. 重采样：根据粒子权重进行重采样，保留高权重粒子，舍弃低权重粒子。

5. 估计：计算加权平均作为机器人的位置估计。

随着机器人的移动和持续观测，粒子会逐渐聚集在机器人的真实位置附近，从而实现准确的定位。