【算法篇】清晰易懂掌握动态规划

动态规划：用“记住过去”解决复杂问题的智慧

动态规划（Dynamic Programming，DP）是一种通过记录子问题解来避免重复计算的算法思想。如果说贪心算法是“只看眼前最优”，那么动态规划就是“记住过去每一步的选择”。本文将通过生活化的例子和Java代码实现，带你轻松理解动态规划的精髓！

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一、什么是动态规划？

动态规划的核心思想是：将大问题分解为小问题，通过保存小问题的解来避免重复计算。就像我们解数学题时先记住公式，下次遇到相同问题直接使用结果。

举个生活中的例子

假设你要爬10级台阶，每次可以爬1级或2级。问有多少种不同的方法？
如果用暴力递归会重复计算很多子问题（比如爬第8级台阶的方法会被反复计算）。而动态规划会用一个表格记录每一级台阶的方法数，后续直接查表。

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二、动态规划的适用条件

动态规划需要满足两个关键条件：

1. 最优子结构：大问题的最优解包含子问题的最优解
2. 重叠子问题：子问题会被重复计算多次

⚠️ 注意：动态规划常用于解决贪心算法无法处理的复杂优化问题（如0-1背包问题）。

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三、经典案例：硬币找零问题

问题描述

给定不同面额的硬币（如1元、3元、5元）和一个总金额（如11元），求组成该金额的最少硬币数。
（若面额为1、3、5时，贪心算法会失效：比如找9元，贪心选5+1+1+1=4枚，实际最优是3+3+3=3枚）

动态规划策略

1. 定义dp数组：dp[i]表示金额i的最小硬币数
2. 初始状态：dp[0] = 0
3. 状态转移方程：dp[i] = min(dp[i-coin] + 1)（对所有硬币面额）

Java代码实现

public class DpExample {
    public static void main(String[] args) {
        int[] coins = {1, 3, 5};
        int amount = 11;
        int[] dp = new int[amount+1];
        Arrays.fill(dp, amount+1); // 初始化为极大值
        dp[0] = 0;

        for (int i = 1; i <= amount; i++) {
            for (int coin : coins) {
                if (coin <= i) {
                    dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - coin] + 1);
                }
            }
        }

        System.out.println("最少需要硬币数: " + 
            (dp[amount] > amount ? -1 : dp[amount]));
    }
}

输出结果

最少需要硬币数: 3  // 5+5+1（或3+3+5）

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四、如何识别适用动态规划的问题？

遇到以下特征时，可以考虑动态规划：

1. 问题可以分解为相似的子问题
2. 子问题会被重复计算
3. 常见应用场景：背包问题、最长公共子序列、编辑距离、股票买卖问题等

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五、动态规划的两种实现方式

1. 自顶向下（记忆化搜索）

用递归实现，用哈希表缓存结果
适合子问题数量较少的情况

2. 自底向上（迭代填表）

用循环实现，显式构建dp表
适合需要优化空间复杂度的情况

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六、动态规划的优缺点

✅ 优点

• 能保证得到全局最优解
• 通过存储中间结果大幅提升效率

❌ 缺点

• 需要额外存储空间
• 对无重叠子问题的问题反而降低效率

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七、总结

动态规划像一本精心记录的笔记本：

1. 拆解问题：将大象放进冰箱分三步
2. 记住结果：避免重复造轮子
3. 组合答案：用小问题的解构建大问题的解

下次遇到复杂问题时，尝试问自己：
“这个问题能否拆解成子问题？子问题是否会被重复计算？”
如果答案是肯定的，动态规划就是你需要的利器！

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扩展思考：
尝试用动态规划解决「青蛙过河」问题（LeetCode 403），体会状态转移的设计技巧。对比暴力递归与动态规划的时间复杂度差异，感受DP的威力！