【学习笔记】无向图最小割

零、概述

什么离谱的人会研究这种离谱的东西啊……从定义，到构造，到性质，我完全想象不到 $\mathrm{idea}$ 的来源……

研究带权无向图上，任意两点之间的最小割。最朴素的方法是做 $\mathcal{O}(n^2)$ 次网络流。

设图 $G=(V,E,c)$ 为带权无向图，边的权值 是实值函数 $c:E\mapsto {\mathbb{R}}^{\ast }$，注意边权一定非负。

割 是对图 $G$ 的点集的划分 $\text{cut}(S,V\setminus S)(S\ne \varnothing ,S\ne V)$ 。用 $\text{cut}(S,T)$ 表示一个割（即默认 $S\cup T=V$ 成立），用 $|\text{cut}(S,T)|={\sum }_{⟨i,j⟩\in E}c(i,j)[i\in S][j\in T]$ 表示这个 割的容量（割边的权值和）。

称 $\text{cut}(S,T)$ 是 $a,b$ 的割，当且仅当 $a\in S,b\in T$ 。

定义 $a,b$ 的 最小割 为容量最小的 $a,b$ 的割，记为 $\text{mincut}(a,b)$ 。由于名称较长，令 $\lambda (a,b)=|\text{mincut}(a,b)|$，即 $a,b$ 的 最小割的容量。

壹、等价流树

我在读论文时，发现一个问题是，我时常需要回头去看上面的叙述。此时夹杂的证明就成了一个阻碍。所以我将一部分证明放在了注脚中。

另：等价流树比最小割树更易理解（并且感觉更实用）所以我没有按照论文的顺序讲。

1. 定义

一颗 等价流树（$\text{equivalent flow tree}$）满足，树上任意一条边 $⟨a,b⟩$ 的权值为 $\lambda (a,b)$，且任意两点 $u,v$ 满足 $\lambda (u,v)$ 为二者树上路径的最小边权。

2. 存在性

据称，想到它的存在的原因是：两点间本质不同的最小割只有 $n$ 个。但我完全不知道。

定理一：对于任意不同的三点 $a,b,c\in V$，有 $\lambda (a,b)⩾\min \{\lambda (a,c),\lambda (c,b)\}$ 。¹

只要将 $\lambda (c,b)$ 再用 $\min \{\lambda (c,d),\lambda (d,b)\}$ 放缩，很容易看出

推论一：$\lambda (a,b)⩾\min \{\lambda (a,c_1),\lambda (c_1,c_2),\dots ,\lambda (c_{k-1},c_k),\lambda (c_k,b)\}$ 。

也就是说，如果能够建一棵 $\lambda$ 为权值的树，那么 $a,b$ 的最小割已经是不小于二者树上路径最小边权了；只需要证明 $a,b$ 的最小割亦不大于之。

2.1. 子模函数

若定义在 $V$ 的子集上的函数 $f$ 满足如下性质，则其为 子模（$\text{submodular}$）函数：对于任意 $A,B⫅V$ 有 $f(A)+f(B)⩾f(A\cup B)+f(A\cap B)$ 。

直观理解就是，元素越是聚集，贡献越小。

定理二：割的权函数 $f(S)=|\text{cut}(S,V\setminus S)|$ 是子模函数。²

2.2. 对称函数

若定义在 $V$ 的子集上的函数 $f$ 满足如下性质，则其为 对称 函数：对于任意 $S⫅V$ 有 $f(S)=f(V\setminus S)$ 。

定理三：割的权函数 $f(S)=|\text{cut}(S,V\setminus S)|$ 是对称函数。

2.3. 反模函数

若定义在 $V$ 的子集上的函数 $f$ 满足如下性质，则其为 反模（$\text{posi-modular}$）函数：对于任意 $A,B⫅V$ 有 $f(A)+f(B)⩾f(A\setminus B)+f(B\setminus A)$ 。

定理四：若函数 $f$ 既是子模函数，又是对称函数，则 $f$ 是反模函数。³

于是有了

推论二：割的权函数 $f(S)=|\text{cut}(S,V\setminus S)|$ 是反模函数。⁴

2.4. 核心定理

核心定理：设 $a,b$ 的最小割是 $\text{cut}(S,T)$，则对于任意不同的 $u,v\in S$，存在一个 $u,v$ 的最小割 $\text{cut}(X,Y)$ 使得 $X⫅S$ 或 $Y⫅S$ 。

也就是说，任取一个最小割 $\text{cut}(S,T)$ 后，$S$ 和 $T$ 内部点对的最小割可以局限在 $S,T$ 内部，提供了一个递归的结构。

证明：设 $u,v$ 的某个最小割为 $\text{cut}(X,Y)$ 。不失一般性地，设 $a\in X$，因为 $u,v$ 可交换。接下来我们可以讨论一下 $b$ 的位置。显然我们会需要用到割的权函数 $f(S)=|\text{cut}(S,V\setminus S)|$ 的性质。

• 若 $b\notin X$，可以证明 $X\cap S$ 与其补集也是 $u,v$ 的最小割。

由 子模函数 知 $f(S)+f(X)⩾f(S\cap X)+f(S\cup X)$ 。然而 $b\notin S\cup X$ 说明 $S\cup X$ 与其补集也是 $b,a$ 的割，由最小割的定义 $f(S\cup X)⩾f(S)$ 。同理，$u\in S\cap X$ 说明 $f(S\cap X)⩾f(X)$ 。于是三个不等式同时取等号。

• 若 $b\in X$，可以证明 $S\setminus X$ 与其补集也是 $v,u$ 的最小割。

由 反模函数 知 $f(S)+f(X)⩾f(S\setminus X)+f(X\setminus S)$ 。然而 $v\in S\setminus X=S\cap Y$ 说明 $S\setminus X$ 与其补集是 $v,u$ 的割，故 $f(S\setminus X)⩾f(X)$ 。同理，$b\in X\setminus S=X\cap T$ 说明 $f(X\setminus S)⩾f(S)$ 。于是三个不等式同时取等号。

3. 构建算法

$\text{Gusfield}$ 算法：对点集 $S$ 建树，任取 $a,b\in S$ 求出其最小割 $\text{cut}(X,Y)$，注意这里 $X\cup Y=$ 原图 $G$，然后对 $X\cap S,Y\cap S$ 分别递归建树，最后连 $⟨a,b⟩$ 即可。

正确性证明：该算法为逐次加入边，只需证明每次加边的合法性，即 推论一 下方所说的，对于任意 $u\in X\cap S$ 和 $v\in Y\cap S$ 有
$$\lambda (u,v)⩽\min \{\lambda (u,a),\lambda (a,b),\lambda (b,v)\}$$

而根据 核心定理，$\lambda (u,a)$ 的一部可以被局限在 $X$ 中，$\lambda (b,v)$ 的一部可以被局限在 $Y$ 中，所以二者都是 $a,b$ 的一个割，由最小割的定义 $\lambda (a,b)⩽\min \{\lambda (u,a),\lambda (b,v)\}$ 。

于是只需判定 $\lambda (u,v)⩽\lambda (a,b)$ 。由 $\text{cut}(X,Y)$ 是 $u,v$ 的割，显然成立。

4. 非递归实现

$\text{Gusfield}$ 只是将点集不断细分的过程；那么我们可以应用类似并查集的思想，直接以循环模拟在 $\mathtt{dfs}$ 树上进行广度优先搜索的过程。听上去很绕，不妨看伪代码。
$$\begin{array}{rl}& \text{Algorithm}\text{Gusfield}(V,E)\\ 1& \text{for}u\leftarrow 2\text{to}|V|\text{do}\\ 2& fa(u)\leftarrow 1\\ 3& \text{for}u\leftarrow 2\text{to}|V|\text{do}\\ 4& v\leftarrow fa(u)\\ 5& w(u)\leftarrow \text{solvecut}(v,u)\\ 6& \text{for}x\leftarrow u+1\text{to}|V|\text{do}\\ 7& \text{if}fa(x)=v\text{and}bel(x)=u\text{then}\\ 8& fa(x)\leftarrow u\\ 9& E^{\prime }=\varnothing \\ 10& \text{for}u\leftarrow 2\text{to}|V|\text{do}\\ 11& E^{\prime }=E^{\prime }\cup ⟨fa(u),u,w(u)⟩\\ 12& \text{return}{E}^{\prime }\end{array}$$

其中 $\text{solvecut}$ 求出了 $u,v$ 的最小割，用 $bel(x)\in \{u,v\}$ 表示这个割，返回值为割的权值。

贰、最小割树

核心定理 所揭示的，实际上是最小割之间的关系（而不仅仅是其容量）。有无可能造出一棵限制更强的等价流树呢？

1. 定义

一棵 最小割树（$\text{Gomory-Hu Tree}$）满足，若将树上任意一条边 $⟨a,b⟩$ 删去后得到的树的连通块为 $S,T$，则 $\text{cut}(S,T)$ 是 $a,b$ 的一个最小割。

我也不知道为什么英文名是那个奇怪的玩意儿诶。

2. 性质

若令边权为 $\lambda$，则最小割树是等价流树。这是毫无疑问的。

又因为最小割树的定义，可知 $a,b$ 的最小割之一就是将二者树上路径最小边权的边删掉，获得的两个连通块作为割。

3. 构建算法

相较于等价流树，由 核心定理，它所揭示的是，对于 $a,b$ 的最小割 $\text{cut}(S,T)$，将 $S$ 中的点对求 $\mathrm{mincut}$ 时，可以将不含 $b$ 的部分缩小到 $S$ 内部。若直接将 $a,b$ 连边，怎么保证递归建树的时候，$\text{cut}$ 中包含 $b$ 的部分总是 “对准” 这条边的呢？

所以我们需要缩点。将 $T$ 缩小成一个单点 $t$ 。相当于让 $S$ 内部的最小割强制局限于 $S$ 中。但是又不用考虑这个虚点与别人的最小割，只需要考虑该虚点在最小割中的归属。

递归过程中，我们可能面临这样的问题——要建出图 $G=(V,E)$ 上点集 $R(R⫅V)$ 的最小割树，并让 $G\setminus R$ 中的点找到归属。略显抽象。更形式化地，建出 $R$ 的生成树，同时找到 $V$ 的集合划分 $C_x(x\in R)$ 使得：将这棵生成树上任意一条边 $⟨a,b⟩$ 删去，得到的树上连通块分别为 $W$ 和 $R\setminus W$，则 ${\bigcup }_{i\in W}{C}_i$ 与其在 $G$ 中的补集是 $a,b$ 在 $G$ 上的一个最小割。为了统一性，规定 $x\in C_x$ 。

伪代码不能帮助理解，我还是直接讲吧。设现在正在处理上述问题。任取两不同点 $a,b\in R$，求出其在 $G$ 上的最小割 $\text{cut}(S,T)$ 。令 $G_t$ 为，将 $G$ 中 $T$ 缩为一个点 $t$ 的图；同理可记 $G_s$ 。

递归求出 $G_t$ 上 $R\cap S$ 的最小割树、$G_s$ 上 $R\cap T$ 的最小割树。因为点集无交，必然求出两棵独立的树，且可统一记录为 $C_x(x\in R)$ 。

由定义，存在唯一的 $r_t\in R\cap S$ 使得 $t\in C_{r_t}$，同理存在 $s\in C_{r_s}$ 。加入一条最小割树的树边 $⟨r_t,r_s⟩$ 后，就得到了 $R$ 上的生成树。

最后，由于 $s,t$ 是不存在的点，将 $C_{r_s}$ 中的 $s$ 删去。同理也需删去 $t$ 。然后过程终止。

递归出口 $|R|=1$ 是平凡的，没有树边，直接令 $C_x=V(R=\{x\})$ 即可。

正确性证明：递归时求出的树边，其正确性犹存。因为我们无非是把 $C_{r_t}$ 中的 $t$ 进行了 “解压”，变成了树上的 $T$ 部分，根据 核心定理 我们可以先把 $T$ 压缩。$C_{r_s}$ 同理。那么只需检查 $⟨r_s,r_t⟩$ 满足定义，即 $\text{cut}(S,T)$ 是 $⟨r_s,r_t⟩$ 在 $G$ 上的一个最小割。

首先 $\text{cut}(S,T)$ 是 $⟨r_s,r_t⟩$ 的割，只需证明其最小，即 $\lambda (a,b)⩽\lambda (r_s,r_t)$ 。运用 $t\in C_{r_t}$ 的特点，结合最小割树的 性质 可知 $\text{mincut}(a,r_t)$ 将 $a\in C_a$ 与 $t\in C_{r_t}$ 割开了。将 $t$ 解压可知 $\text{mincut}(a,r_t)$ 将 $a$ 与 $T$ 割开了。也就是说，$\text{mincut}(a,r_t)$ 是 $a,b$ 的割，于是 $\lambda (a,r_t)⩾\lambda (a,b)$ 。同理 $\lambda (b,r_s)⩾\lambda (a,b)$ 。

根据 推论一 有 $\lambda (r_t,r_s)⩾\min \{\lambda (r_t,a),\lambda (a,b),\lambda (b,r_s)\}=\lambda (a,b)$，证毕。

引理一：当 $R=V$ 时，该函数将求出 $G=(V,E)$ 的最小割树。

引理二：构建最小割树需要 $\Theta (|V|)$ 次求出最小割。

之所以称为引理，是因为太显然，根本不用证明，引用一遍就差不多得了。

4. 非递归实现

同理，本算法也有循环模拟的方式，不过它更 $\mathrm{tricky}$ 。

对于 $x⩽i$，用 $fa[x]$ 存储一条树边——即在 $x$ 子集中找到 $fa[x]\in C_i$，同理可找 $x\in C_j$，边应当为 $⟨i,j⟩$ 而非二者直接相连。对于 $i<x$ 用 $fa[x]$ 表示归属关系。每次找到最小割之后，既要考虑改变归属关系，又要考虑 $fa[u]=fa[x]$ 代表一条树边时，若 $u$ 被划分到 $x$ 一侧那么 $u\in C_i$ 的解 $i$ 必然归属于 $x$，所以应连接代表树边的 $fa[u]=x$ 。还要考虑 $fa[fa[x]]$，其必然代表一条树边。

伪代码中 $\text{solvecut}$ 会将所有 $fa\ne v$ 的点都根据 $fa$ 进行缩点，然后求出最小割，返回值为容量。方案仍然用 $bel\in \{u,v\}$ 存储。

由于我累了，该伪代码就不用拉泰克书写了。

for i = 1 to |V| do
	fa[i] = 1 // init
fa[1] = NULL // essential
for u = 2 to |V| do
	var v = fa[u]
	var omega = solve_cut(u,v) // (*)
	for x = 1 to |V| do
		if x != u and fa[x] = v and bel[x] == v then
			fa[x] = u // (integrated)
		end if
	end for
	if fa[v] != NULL and bel[fa[v]] == u then
		fa[u] = fa[v] // edge on tree from  ...
		w[u] = w[v] // ... to , doing rotation
		fa[v] = u
		w[v] = omega
	else
		w[u] = omega // no change made
	end if
end for
E = ∅
for u = 1 to |V| do
	if fa[u] != NULL then
		E = E ∪ (fa[u],u,w[u]) // endpoints and value
	end if
end for

叁、全局最小割

由于是全局最小，我们可能不需要着眼于两个具体的点的最小割，也就可以不建出等价流树了。

首先有第一步转化：任取两个点 $a,b\in V$，若 $a,b$ 在全局最小割的异侧，则 $\lambda (a,b)$ 不超过全局最小割，根据定义 $\lambda (a,b)$ 就等于全局最小割。当然，用 $\lambda (a,b)$ 更新答案也肯定是合法解。若 $a,b$ 在全局最小割的同侧，则 $a,b$ 可合并为一个点（二者之间的边不会割掉）。所以将二者合并，递归求全局最小割，不会漏解。

那么问题转化为，随便求出两个点的最小割。

1. $\text{Stoer-Wagner}$ 算法

这是一个异想天开的算法。与 $\mathtt{prim}$ 或 $\mathtt{dijkstra}$ 可能有些许相似。

1.1. 最大邻接搜索

初始设点集 $A=\{x\}$，其中 $x$ 是 $V$ 中任意点。不断地找到 $y\notin A$ 使得 $y$ 到 $A$ 中所有点的边权之和最大，即 $|\text{cut}(A,\{y\})|$ 最大，将 $y$ 加入 $A$ 。当 $A=V$ 时终止。

定理五：设 $A$ 依次加入了 $x_1,x_2,x_3,\dots ,x_{|V|}$，其中 $x_1$ 为初始值；则 $\text{cut}(\{x_{|V|}\},\{x_1,x_2,x_3,\dots ,x_{|V|-1}\})$ 是 $x_{|V|-1},x_{|V|}$ 的一个最小割。

1.2. 正确性证明

因为没什么可讲的了，只好把它单独设为一节。

若 $|V|=2$ 显然成立。下设 $|V|⩾3$ 。简记 $n=|V|$ 。由于 $\text{mincut}(x_{n-1},x_n)$ 的割边必然包含 $⟨x_{n-1},x_n⟩$，我们可以先将其移除，最后加上其权值即得 $\lambda (x_{n-1},x_n)$ 。

若将 $x_n$ 与其邻边移除，则得到的最大邻接搜索结果为 $\{x_1,x_2,\dots ,x_{n-1}\}$，由归纳法可知 $\text{cut}(\{x_1,x_2,\dots ,x_{n-2}\},\{x_{n-1}\})$ 是 $x_{n-2},x_{n-1}$ 在新图上的最小割。

现在将 $x_n$ 放回来，割不可能变优。而 $x_n,x_{n-1}$ 之间的边已被删去，所以可以构造出 $\text{cut}(\{x_1,x_2,\dots ,x_{n-2},x_n\},\{x_{n-1}\})$ 让割的容量不变，所以这就是原图上 $x_{n-2},x_{n-1}$ 的最小割。

由最大邻接搜索的过程知
$$|\text{cut}(\{x_1,x_2,\dots ,x_{n-2}\},\{x_{n-1}\})|⩾|\text{cut}(\{x_1,x_2,\dots ,x_{n-2}\},\{x_n\})|$$

由于 $x_{n-1},x_n$ 之间的边已被删去，上式等价于
$$|\text{cut}(\{x_1,x_2,\dots ,x_{n-2},x_n\},\{x_{n-1}\})⩾|\text{cut}(\{x_1,x_2,\dots ,x_{n-1}\},\{x_n\})|$$

本节的开头已述，左式就是 $x_{n-1},x_{n-2}$ 在原图上的最小割。于是
$$\lambda (x_{n-1},x_{n-2})⩾|\text{cut}(\{x_1,x_2,\dots ,x_{n-1}\},\{x_n\})|$$

类似地，将 $x_{n-1}$ 与其邻边移除再加入，由归纳法、构造可知
$$|\text{cut}(\{x_1,x_2,\dots ,x_{n-1}\},\{x_n\})|=\lambda (x_{n-2},x_n)$$

由 定理一 我们知道
$$\begin{array}{rl}\lambda (x_{n-1},x_n)& ⩾\min \{\lambda (x_{n-1},x_{n-2}),\lambda (x_{n-2},n)\}\\ & ⩾|\text{cut}(\{x_1,x_2,\dots ,x_{n-1}\},\{x_n\})|\end{array}$$

而 $\text{cut}(\{x_1,x_2,\dots ,x_{n-1}\},\{x_n\})$ 确实是 $x_{n-1},x_n$ 的一个割，所以上式必然取等。即，该割集就是 $x_{n-1},x_n$ 的最小割。证毕。

1.3. 复杂度

不难发现，复杂度与 $\mathtt{dijkstra}$ 或 $\mathtt{prim}$ 基本相同：使用斐波那契堆可以做到 $\mathcal{O}(|E|+|V|\log |V|)$，使用二叉堆（自行实现，支持单点修改）可以做到 $\mathcal{O}(|E|\log |V|)$ 。

当然，这是针对单次 $\text{Stoer-Wagner}$ 的过程；求解全局最小割，我们统共要做 $\mathcal{O}(|V|)$ 次。

2. $\text{Karger}$ 算法

这个没什么意思，略讲：每次随机一条边，假定它不是全局最小割的割边，直接缩点。

通过计算，发现得到全局最小割的概率不小于 ${\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{|V|}{2}\right)}^{-1}$ 。没错，是一个非常小的数……需要运行 $\Theta (|V{|}^2)$ 次才能让正确率变为某个常数。

缩点的实现又比较麻烦。边权相同（即不带权）时可以做到每次 $\mathcal{O}(|E|)$，带权则只能做到 $\mathcal{O}(|E|\log |E|)$，明显劣于 $\text{Stoer-Wagner}$ 方法……而且还是非确定性……

肆、后记

作者能力十分有限，多数内容都是照搬论文，如有错误还请指出。

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1. 设 $\text{mincut}(a,b)=\text{cut}(S,T)$，若 $c\in S$，则 $\text{cut}(S,T)$ 同样是 $c,b$ 的割，故而 $\lambda (c,b)⩽\lambda (a,b)$ 。$c\in T$ 类似。 ↩︎

2. 考虑将 $f(B)$ 中 $B\setminus A$ 的部分移动到 $f(A)$ 中，显然移动只会让割边减少，得到 $f(A\cup B)+f(A\cap B)$ 。 ↩︎

3. 简记 $V\setminus S$ 为 $\bar{S}$，则 $f(A)+f(B)=f(\bar{A})+f(B)⩾f(\bar{A}\cap B)+f(\bar{A}\cup B)=f(B\setminus A)+f[V\setminus (A\cap \bar{B})]=f(B\setminus A)+f(A\setminus B)$ 。 ↩︎

4. 事实上不用 定理四 也可证明，因为它等价于 $A,B,S$ 两两不交时 $f(A)+f(B)⩽f(A\cup S)+f(B\cup S)$，而这是容易说明的。 ↩︎