抽象代数小述（二之前）

抽象代数小述（二之前）

by Amamiya Fuko

月泉西逝去，困于小池间

引言

夜，是风子。

整点抽象的（指代数），如果有希腊奶的概念可以看看前文，标注有重点（所以尽管跳着看）

你问标题的话，二之前就是一啦，所以正确标题为抽象代数小述（一）

参考了张禾瑞老师的《近世代数》

目录

1.集合、映射与代数运算
2.同态

集合、映射与代数运算

集合，指包含了元素的整体，被确定了的存在的整体，定在或定在们的定在，元素在这种把握中被描述为集合的元（反正这概念太基础了我发发电玩-V_V-）

暂且认为集合有着四种形式，空集与非空集，有限集与无限集。

映射是集合的元素之间关系，如A集与B集的一一映射，描述的就是A中的每一元素都有B中的元素与之唯一对应，例如设$x\in A,y\in B,f(x)=y=x\ast k|k为一常数$ 函数f就是一个A到B的映射$A\to B=f(A)$

映射有着不同的形式，上面提到的一一映射是其中的一种特殊的映射。设有一映射$A\to B$对于某一$y\in B$而言，其逆运算可能的"x\in A"被称为逆象，而其自身，也就是y被称为象，象与逆像之间并不一一对应，甚至B中的元（元素）也并不全然作为A中的元的象。

对于某种映射，如果有，任意B中的元都作为A中的元的象，那么我们称之为满射
$$\forall y=f(x)|x\in A,y\in B$$
对于某种映射，如果有，任意B中的元的象与任意别一个B中的元的象不同，我们称之为单射
$$\forall f(x)!=f(y)|x,y\in A,x!=y$$
假如有一映射即是单射又是满射，则其为一一映射。

变换是一种特殊的映射，其为某一集合与其自身的映射
$$A\to A$$

代数运算是一个满足封闭性的映射
$$A\to A$$

同态

同态是描述运算之间的关系

设A到B有映射f，A到A有运算g，B到B有运算g’，则若有
$$\begin{array}{rcl}f(g(A))& =& g^{\prime }(f(A))\\ (A\to A)\to B& =& (A\to B)\to B\end{array}$$
则我们说这两个运算是同态的，假如映射f是满射，那么我们进一步地说这是一个同态满射，反之为同态单射，若为一一映射，则我们称其为同构