123 题解（分块+二分查找）

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123

题目描述

小蓝发现了一个有趣的数列，这个数列的前几项如下：
$1,1,2,1,2,3,1,2,3,4,...$
小蓝发现，这个数列前$1$项是整数$1$，接下来$2$项是整数$1$至$2$，接下来$3$项是整数$1$至$3$，接下来$4$项是整数$1$至$4$，依此类推。
小蓝想知道，这个数列中，连续一段的和是多少。

输入描述

输入的第一行包含一个整数$T$，表示询问的个数。
接下来$T$ 行，每行包含一组询问，其中第$i$行包含两个整数$l_i$和 $r_i$，表示询问数列中第$l_i$个数到第 $r_i$个数的和。

输出描述

输出$T$行，每行包含一个整数表示对应询问的答案。

预备知识

二分查找

二分查找是一种在有序数组（数组必须是有序的，一般都是没有重复的数）中查找特定元素的搜索算法。它的工作原理是不断将数组分成两半，然后确定目标元素可能存在的那一半，直到找到目标元素或确定元素不存在。时间复杂度为 $O(logn)$

基本步骤

1. 确定搜索区间的左右边界 $left$ 和 $right$。
2. 计算中间位置 $mid$，比较中间元素与目标值：

• 若中间元素等于目标值，返回 mid。
• 若中间元素小于目标值，说明目标在右半区，调整左边界$left=mid+1$。
• 若中间元素大于目标值，说明目标在左半区，调整右边界$right=mid-1$。

3. 重复上述步骤，直到找到目标值或区间无效。

假设有一个从小到大排列好的数组，比如$[1,3,5,7,9,11,13,15]$，我要找数字9的位置。按照二分查找的步骤，应该是这样的：
中间元素是$7$，比$9$小，所以下一步应该在右半部分继续查找。这时候右半部分是$[9,11,13,15]$，再取中间元素$11$，发现比$9$大，所以左半部分是$[9]$。这时候中间元素就是$9$，找到索引$4$。

关键细节

1. 区间定义：

• 左闭右闭$[left,right]$：初始 $left=0,right=nums.size()-1$。
• 左闭右开$[left,right)$：初始 $right=nums.size()$，循环条件为 while $(left<right)$。

2. 中间值计算：

• 推荐写法：$mid=left+(right-left)/2$，避免$(left+right)$溢出。

3. 终止条件：

• 左闭右闭：while $(left<=right)$，当 $left>right$ 时结束。
• 左闭右开：while $(left<right)$，当 $left==right$ 时结束。

解题思路

数列中的每一个连续的部分可以看作一个小块，第$i$个小块包含$i$个元素，依次为$1,2,\dots ,i$，每个分块的最后一个元素的位置为前$i$组的累加项数，即$i(i+1)/2$。

1  12  123  1234  12345 ..

用$idx$数组存储每个分块的结束位置，$idx[k]=k(k+1)/2$。
用$sum$数组存储前k个分块的元素和之和。每个分块的和为$1+2+\cdots +k=k(k+1)/2$，因此$sum[k]=sum[k-1]+k(k+1)/2$。
使用二分查找确定$x$所包含的的完整分块$N$（满足 $idx[k]<=x$）。前N个分组的和为$sum[N]$，剩余项属于第$N+1$组的前$m$项（$m=x-idx[N]$），其和为$m(m+1)/2$。前$x$项的就为$sum[N]+m(m+1)/2$。
对于每个查询$[l,r]$，结果为前$r$项的和减去前$l-1$项的和。

完整代码

#include
#define ll long long
using namespace std;

const ll Limit = 1e12 + 7; // 预处理到足够大的分块，覆盖可能的查询范围
vector<ll> idx, sum;       // idx存储分块结束位置，sum存储前i个分块的累计和
ll T, l, r;

// 二分查找，找到最大的k使得idx[k] <= x
ll find(ll x) {
    ll l = 0, r = idx.size() - 1;
    while (l <= r) {
        ll mid = l + (r - l) / 2;
        if (x == idx[mid]) return mid;
        if (x > idx[mid]) l = mid + 1;
        else r = mid - 1;
    }
    return r; // 返回最后一个满足条件的索引
}

// 计算前x项的和
ll qry(ll x) {
    ll tidx = find(x);                // 找到x所在的分块前一个分块的索引
    ll m = x - idx[tidx];             // 当前分块中的前m项
    return sum[tidx] + m * (m + 1) / 2; // 前缀和 + 当前分块部分和
}

int main() {
    // 预处理idx和sum数块
    idx.push_back(0); // 初始分块结束位置为0（第0块）
    sum.push_back(0); // 初始和为0
    ll i = 1;
    while (1) {
        ll end_pos = i * (i + 1) / 2; // 第i块的结束位置
        if (end_pos > Limit) break;   // 超过Limit时停止预处理
        idx.push_back(end_pos);       // 记录分块结束位置
        // 计算前i块的累计和：sum[i] = sum[i-1] + 当前块的和（i*(i+1)/2）
        sum.push_back(sum.back() + i * (i + 1) / 2);
        i++;
    }

    cin >> T;
    while (T--) {
        cin >> l >> r;
        // 区间和 = 前r项和 - 前(l-1)项和
        cout << qry(r) - qry(l - 1) << endl;
    }
    return 0;
}