【数据结构与算法】KMP算法

引言

字符串查找的朴素算法中，我们每次对目标字符串的查找失败后，目标字符串的指针回到 0 初始位置，这样的解法在处理大规模数据时往往不尽人意。为了避免朴素算法的低效，D.E.Knuth、J.H.MorTis 和 V.R.Pratt 联合发表了一个模式匹配算法即KMP算法——分别取三位学者名字的首字母得名，它可以一定程度上避免重复遍历的时间问题。

前缀和后缀

在了解KMP算法前，我们需要补充一个概念即字符串的前缀和后缀，前缀表示字符串不包含末尾字符的所有子串，后缀表示字符串不包含首字符的所有字串。如：

字符串 aabb 的前缀有：a，aa，aab ；后缀有：b，bb，abb。

前缀表

KMP算法与前缀表（表示成数组名为 next 的数组）息息相关，它记录了目标串的每个字串前缀和后缀相等的最长子串的数目，对应相同子串前缀末尾，决定着查找串与目标串查找失败后目标串指针的回退位置。相当于在失败后目标串前序 next 数目和查找串后序相同数目进行匹配，只需要令指针从匹配子串的后一位置开始查找即可。如字符串 issis 的 前缀表为：

next [ 0 ] = 0 ，i 没有子串，故为 0 ；

next [ 1 ] = 0 ，is 的前后缀 i 和 s 不相同，故为 0 ；

next [ 2 ] = 0 ，iss 的前后缀 i is 和 s ss 不相同，故为 0；

next [ 3 ] = 1 ，issi 的前后缀 i is iss 和 i si ssi 存在 1 个相同的子串且长度为 1 ，故为 1；

next [ 4 ] = 2 ，issis 的前后缀 i is iss issi 和 s is sis ssis 存在 1 个相同的子串且长度为 2 ，故为 2；

代码实现

在这里借助引入的一道 Leetcode 题目来实现KMP算法：

28. 找出字符串中第一个匹配项的下标

给你两个字符串 haystack 和 needle ，请你在 haystack 字符串中找出 needle 字符串的第一个匹配项的下标（下标从 0 开始）。如果 needle 不是 haystack 的一部分，则返回 -1 。

解法显然：

1，先找到 next 数组。

在这里定义了 gainNext 函数来解决：

int* gainNext(char* s, int nSize){
    int* next=(int*)calloc(nSize,sizeof(int));//动态内存分配并初始化为0。
	int front = 0;
	for(int back = 1; back<nSize; back++){//前后缀末字符的理想差为1，因此后指针从下标1开始遍历。
		while(front>0 &&  s[front]!=s[back]){
            front = next[front-1];
        }
		if(s[front]==s[back]){
            front++;
        }
		next[back] = front;
	}
    return next;
}

front 指向前缀末尾，back 指向后缀末尾。前后指针匹配失败时，前指针向 0 逐位移动尝试与后指针匹配，匹配成功则前后指针前移并将前指针赋给后指针下标的 next 元素。后指针只在开始每次循环时 ++ 一次，既是后缀末尾字符下标，也是 next 数组存储计数器。如果前后指针一直匹配失败直到前指针指向 0，那么跳出 while，next 的 back 下标值为 0。

2，根据 next 移动目标串指针跟随查找串指针遍历查找串。

int strStr(char* haystack, char* needle) {
    int nSize = strlen(needle),hSize = strlen(haystack),slow = 0;
    int* next = gainNext(needle,nSize);
    for(int fast = 0; fast < hSize; fast++){
        while(slow>0 && haystack[fast] != needle[slow]){//回退直到与当前快指针下标的字符相等。
            slow = next[slow-1];
        }
        if(haystack[fast] == needle[slow]){
            slow++;
        }
        if(slow == nSize){//slow在目标串末字符匹配成功后++，此时与目标串的长度相等。
            free(next);
            return fast-nSize+1;
        }
    }
    free(next);//好习惯。
    return -1;//跳出循环说明未找出，返回-1。
}

循环部分与 next 数组的建立较为类似，慢指针回退直到下标字符与快指针遍历查找的字符相等，慢指针 ++，再检测慢指针是否与目标串的长度相等，是则返回值结束；非则继续循环。

前缀表的应用示例

再次引入另一道 Leetcode 题目：

459. 重复的子字符串

给定一个非空的字符串 s ，检查是否可以通过由它的一个子串重复多次构成。

先给到一个例子 ababab ，它的前缀表 next 如下：

next [ 0 ] = 0，next [ 1 ] = 0，

next [ 2 ] = 1，next [ 3 ] = 2，

next [ 4 ] = 3，next [ 5 ] = 4；

前缀表 即 最长相等前后缀，若一个字符串 s 完全由 n 个最小重复子串 si 组成，那么其最长相等前后缀的长度是 n-1 * strlen ( si ) 。

非最长相等后缀子串的部分（长度为 strlen ( si ) ）可以被 strlen ( s ) 整除。

所以我们求出 next [ strlen ( s ) - 1 ] 的值，利用它求得非最长相等子串，检测其是否能整除 strlen ( s ) 即可。

核心代码部分如下：

bool repeatedSubstringPattern(char* s) {//gainNext略
    int* next=gainNext(s);
    int sSize=strlen(s);
    if(sSize % (sSize-next[sSize-1]) == 0 && next[sSize-1] != 0){
        free(next);
        return true;
    }
    free(next);
    return false;
}