最大点问题

这是一个经典的二维“最大点”或“支配关系”问题，下面是完整的解答：

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a. 算法设计与分析

问题回顾（更直白）：

一个点 $(x_i,y_i)$ 被支配，是指存在另一个点 $(x_j,y_j)$，满足：

• $x_i\le x_j$ 且 $y_i\le y_j$
• 且至少有一个方向是严格小于的（否则是同一个点）

我们要找出 所有不被支配的点，即最大点集合（Maximal Points）。

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✅ 算法思路（排序 + 扫描）：

1. 按 x 坐标降序排序；

   • 如果 x 相同，按 y 升序；

2. 从左往右扫描每个点，维护一个变量 max_y_so_far；

3. 如果当前点的 y 大于 max_y_so_far，就说明它不是被别人支配的最大点；

4. 更新 max_y_so_far。

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示例代码（C++）：

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

struct Point {
    int x, y;
};

bool compare(const Point& a, const Point& b) {
    // 按 x 降序排列；若 x 相同，按 y 升序排列
    return a.x > b.x || (a.x == b.x && a.y < b.y);
}

vector<Point> findMaximalPoints(vector<Point>& points) {
    sort(points.begin(), points.end(), compare);

    vector<Point> result;
    int max_y_so_far = INT_MIN;

    for (const auto& p : points) {
        if (p.y > max_y_so_far) {
            result.push_back(p);
            max_y_so_far = p.y;
        }
    }

    return result;
}

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⏱️ 时间复杂度分析：

步骤	时间复杂度
排序	$O(n\log n)$
扫描	$O(n)$
总计	$O(n\log n)$ ✅

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b. 现实生活中的应用场景：

这个“最大点”问题又叫二维天空线问题（Skyline problem），在以下场景中很常见：

✅ 现实实例：

1. 产品优选筛选：

   • 比如在选择笔记本电脑：价格低、性能高的机器 → 最大点。
   • 每台电脑有两个参数（价格，性能），找到不被其他产品支配的产品。

2. 房地产分析：

   • 每个房子是一个点（面积，价格），寻找在“面积更大而价格不高”的最佳房子集合。

3. 数据库多维查询优化：

   • SQL 查询中找出“多属性非支配记录”，如航班选择：耗时短、价格低。

4. 投资组合选择：

   • 每个股票/基金：收益和风险两维度 → 找到最优投资点。

5. 就业择业建议系统：

   • 岗位的薪资与工作强度作为两个维度，找出不被支配的工作岗位。

例：

{(1,3), (2,2), (3,1), (4,4), (5,0)}

(5, 0)是不是最大点呢？

是的，在严格按照定义的支配关系下，(5,0) 也确实是最大点，因为：

• 没有其他点横坐标 ≥ 5；
• 所以没人能支配它；
• 虽然它的 y 很小，但没人比它在 x 上更“右”，所以它不被支配。

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核心理解：

最大点不一定“好看”或“数值最大”；
它只是“不被别人同时在 x 和 y 上都更优”：

• (4, 4)：左上角高端点，不被任何点支配 ✅
• (5, 0)：最右端，没人 x ≥ 5，没人支配它 ✅

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好的！我们现在来扩展到三维空间，即处理点集合 $(x,y,z)$，并找出所有不被其他点支配的最大点。

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三维

三维“最大点”定义（支配关系）：

在三维中，点 $A=(x_1,y_1,z_1)$ 支配点 $B=(x_2,y_2,z_2)$，当且仅当：

• $x_1\ge x_2$
• $y_1\ge y_2$
• $z_1\ge z_2$
• 至少一个维度是严格大于

我们要找出所有不被其他点支配的最大点。

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✅ 算法概述（暴力但清晰）：

由于三维不再能像二维那样用排序+扫描处理，我们用：

• 暴力判断每个点是否被支配（O(n²)）
• 对每对点比较，判断支配关系

这适合中等规模（例如 $n\le 10^4$）。

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完整 C++ 实现（支持三维最大点）：

#include 
#include 
using namespace std;

struct Point3D {
    int x, y, z;

    void print() const {
        cout << "(" << x << ", " << y << ", " << z << ")";
    }
};

// 判断 A 是否支配 B
bool dominates(const Point3D& A, const Point3D& B) {
    bool strictly_greater = false;
    if (A.x < B.x || A.y < B.y || A.z < B.z)
        return false;
    if (A.x > B.x) strictly_greater = true;
    if (A.y > B.y) strictly_greater = true;
    if (A.z > B.z) strictly_greater = true;
    return strictly_greater;
}

vector<Point3D> findMaximalPoints3D(const vector<Point3D>& points) {
    int n = points.size();
    vector<bool> is_dominated(n, false);

    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        if (is_dominated[i]) continue;
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            if (i == j) continue;
            if (dominates(points[j], points[i])) {
                is_dominated[i] = true;
                break;
            }
        }
    }

    vector<Point3D> result;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        if (!is_dominated[i])
            result.push_back(points[i]);
    }

    return result;
}

int main() {
    vector<Point3D> points = {
        {1, 2, 3}, {3, 2, 1}, {2, 3, 1}, {4, 4, 4}, {5, 0, 0}, {0, 5, 0}, {0, 0, 5}
    };

    vector<Point3D> maximal = findMaximalPoints3D(points);

    cout << "三维最大点（不被支配的点）有：" << endl;
    for (const auto& p : maximal) {
        p.print();
        cout << endl;
    }

    return 0;
}

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✅ 输出示例（基于上面样例）：

三维最大点（不被支配的点）有：
(4, 4, 4)
(5, 0, 0)
(0, 5, 0)
(0, 0, 5)

这些点都没有在 x、y、z 三维中被其他点“更大等”且至少一维更大的点支配。

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算法复杂度

• 时间复杂度：$O(n^2)$
• 空间复杂度：$O(n)$
• 若数据量特别大（如 >10^5），可用三维数据结构或分治策略优化（如 kd-tree、Divide and Conquer）