进制（上）

一、进制的本质

（一）基本概念

1. 数字起源与常用进制：数字用于计数和量化，生活中常用十进制。十进制由 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 这十个符号组成，遵循逢十进一规则，如 9 加 1 变为 10 。
2. 不同进制定义
   • 九进制：由 0 - 8 九个符号组成，逢九进一，例如 8 加 1 是 10（九进制下）。
   • 十六进制：包含 0 - 9 和 A - F 共十六个符号（A 代表 10，B 代表 11，以此类推，F 代表 15） ，逢十六进一，常用于计算机领域，如颜色值表示。
   • 八进制：由 0 - 7 八个符号组成，逢八进一。
   • 十二进制：理论上由十二个符号组成（如 0 - 9 和另外两个特定符号），逢十二进一，生活中也有应用，如 12 个月为一年。
   • 二进制：仅由 0 和 1 两个符号组成，逢二进一，在计算机信息存储和处理中至关重要。
   • N 进制：由 N 个符号组成，逢 N 进一。

（二）进制本质及应用

1. 本质理解：进制本质是一种计数规则，符号顺序和进位规则是关键。改变符号顺序（如十进制符号变为 9、1、5 等组成）不影响计数本质，但会增加理解和运算难度。
2. 加密应用：利用特殊的进制符号设定可用于加密，打乱常规进制符号顺序能增加解密难度，保障信息安全。

（三）计算机与数字的关系

1. 信息存储形式：计算机中所有信息，如图片、视频、歌曲等，最终都以二进制形式存储。
2. 采用二进制原因
   • 足够表示：二进制的 0 和 1 能表示计算机中的两种状态（如电路的开和关、电平的高低），满足信息表示需求。
   • 硬件制约：计算机硬件实现二进制状态相对容易，成本较低。
3. 二进制与十六进制转换
   • 转换原理：十六进制是二进制的简写形式，1 个十六进制数等于 4 个二进制数，因为 4 个二进制数能表示的范围（0000 - 1111，即 0 - 15）与 1 个十六进制数的表示范围相同。
   • 转换方法：二进制转十六进制，从右到左每 4 位二进制数为一组，对应转换为一个十六进制数；十六进制转二进制，将每个十六进制数按对应关系转换为 4 位二进制数。
   • 映射关系：0 - 9 和 A - F 分别对应 0000 - 1111 ，如二进制 0001 对应十六进制 1，1010 对应 A。

二、进制运算

（一）十进制运算

遵循日常数学运算规则，有加、减、乘、除运算。例如 7 + 9 = 16，9 - 3 = 6，2 × 3 = 6，8 ÷ 4 = 2 。

（二）二进制运算

1. 加法规则：0 + 0 = 0，0 + 1 = 1，1 + 0 = 1，1 + 1 = 10（向高位进 1）。例如 1101 + 1010，从右往左逐位相加，结果为 10111。
2. 减法规则：0 - 0 = 0，1 - 0 = 1，1 - 1 = 0，0 - 1 = 1（向高位借 1 当 2）。如 1110 - 0101，计算结果为 1001。
3. 乘法规则：0 × 0 = 0，0 × 1 = 0，1 × 0 = 0，1 × 1 = 1 。计算时与十进制乘法类似，最后将结果相加并处理进位。
4. 除法规则：与十进制除法类似，通过试商确定结果。如 100110 ÷ 110，商为 101，余数为 0 。

（三）八进制运算

1. 加法表
   • 1 + 1 = 2
   • 1 + 2 = 3，2 + 2 = 4
   • 1 + 3 = 4，2 + 3 = 5，3 + 3 = 6
   • 1 + 4 = 5，2 + 4 = 6，3 + 4 = 7，4 + 4 = 10
   • 1 + 5 = 6，2 + 5 = 7，3 + 5 = 10，4 + 5 = 11，5 + 5 = 12
   • 1 + 6 = 7，2 + 6 = 10，3 + 6 = 11，4 + 6 = 12，5 + 6 = 13，6 + 6 = 14
   • 1 + 7 = 10，2 + 7 = 11，3 + 7 = 12，4 + 7 = 13，5 + 7 = 14，6 + 7 = 15，7 + 7 = 16
2. 乘法表
   • 1 × 1 = 1
   • 1 × 2 = 2，2 × 2 = 4
   • 1 × 3 = 3，2 × 3 = 6，3 × 3 = 11
   • 1 × 4 = 4，2 × 4 = 10，3 × 4 = 14，4 × 4 = 20
   • 1 × 5 = 5，2 × 5 = 12，3 × 5 = 17，4 × 5 = 24，5 × 5 = 31
   • 1 × 6 = 6，2 × 6 = 14，3 × 6 = 22，4 × 6 = 30，5 × 6 = 36，6 × 6 = 44
   • 1 × 7 = 7，2 × 7 = 16，3 × 7 = 25，4 × 7 = 34，5 × 7 = 43，6 × 7 = 52，7 × 7 = 61
3. 运算示例
   • 277 + 333 = 632
   • 276 × 54 = 1370（先计算 276×4 = 1332，276×50 = 13300，再相加）
   • 237 - 54 = 162
   • 234 ÷ 4 = 47

三、作业答案

（一）2 + 3 = 1 成立吗？说明理由

在常规十进制下不成立，2 + 3 = 5。假设四进制，定义如下：0 3 2 1。成立。3是第1个数，从2开始往后数1个数，就是1。

（二）将二进制数 1100 1011 0101 0100 1110 1011 0101 0111 1011 0100 1010 1011 用 16 进制表示

从右到左每 4 位一组划分：1100 1011 0101 0100 1110 1011 0101 0111 1011 0100 1010 1011 ，根据映射关系转换为十六进制：CB54EB57B4AB。

（三）将十六进制数 487FDC120ACE69B953FE 用二进制表示

将每个十六进制数按映射关系转换为 4 位二进制数：0100 1000 0111 1111 1101 1100 0001 0010 0000 1010 1100 1110 0110 1001 1011 1001 0101 0011 1111 1110。