python的@运算符

1. @ 运算符的作用

@ 运算符用于两个数组（或矩阵）之间的矩阵乘法。它的行为类似于数学中的矩阵乘法规则。

数学中的矩阵乘法

假设有两个矩阵 ( A ) 和 ( B )：

• ( A ) 的形状为 $m\times n$ （ m 行 n 列），

• ( B ) 的形状为 $n\times p$ （ n 行 p 列），
  则它们的乘积$C=A\times B$ 的形状为 $m\times p$，其中每个元素$C_{ij}$的计算公式为：
  $$C_{ij}=\sum _{k=1}^n{A}_{ik}\cdot B_{kj}$$

Python 中的 @ 运算符

在 Python 中，@ 运算符可以直接实现上述矩阵乘法。例如：

C = A @ B

这行代码会计算矩阵 $A$ 和 $B$ 的乘积，并将结果赋值给 $C$。

2. @ 的使用条件

使用 @ 运算符时，需要满足以下条件：

1. 数据类型：A 和 B 必须是支持矩阵乘法的数据类型，例如：
   • NumPy 数组（numpy.ndarray），
   • SciPy 稀疏矩阵，
   • PyTorch 或 TensorFlow 的张量等。
2. 形状匹配：矩阵 $A$ 的列数必须等于矩阵 $B$ 的行数，否则会报错。

3. @ 的使用示例

以下是一个使用 @ 运算符的简单示例：

示例 1：使用 NumPy 进行矩阵乘法

import numpy as np

# 定义两个矩阵
A = np.array([[1, 2],
              [3, 4]])  # 2x2 矩阵
B = np.array([[5, 6],
              [7, 8]])  # 2x2 矩阵

# 使用 @ 进行矩阵乘法
C = A @ B

print(C)

输出：

[[19 22]
 [43 50]]

解释：

• A 和 B 都是 $2\times 2$ 矩阵，

• 计算结果 C 也是 $2\times 2$ 矩阵，其值为：
  $$C=\left[\begin{array}{cc}1\cdot 5+2\cdot 7& 1\cdot 6+2\cdot 8\\ 3\cdot 5+4\cdot 7& 3\cdot 6+4\cdot 8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}19& 22\\ 43& 50\end{array}\right]$$

示例 2：形状不匹配的情况

如果矩阵的形状不匹配，会抛出错误：

A = np.array([[1, 2, 3]])  # 1x3 矩阵
B = np.array([[4], [5]])   # 2x1 矩阵

C = A @ B  # 会报错

错误信息：

ValueError: matmul: Input operand 1 has a mismatch in its core dimension 0, with gufunc signature (n?,k),(k,m?)->(n?,m?)

解释：

• A 的列数是 3，而 B 的行数是 2，无法进行矩阵乘法。

4. @ 与其他乘法运算符的区别

在 Python 中，还有其他乘法运算符，但它们的行为与 @ 不同：

1. * 运算符：

   • 用于逐元素乘法（Element-wise Multiplication），

   • 要求两个矩阵的形状完全相同。

   • 示例：

     A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
     B = np.array([[5, 6], [7, 8]])
     C = A * B  # 逐元素乘法
     

     输出：

     [[ 5 12]
      [21 32]]
     

2. np.dot() 函数：

   • 用于矩阵乘法或向量点积，

   • 功能与 @ 类似，但 @ 更直观。

   • 示例：

     C = np.dot(A, B)  # 等价于 A @ B
     

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5. 总结

• @ 是 Python 中用于矩阵乘法的运算符。
• 它要求操作数是支持矩阵乘法的数据类型（如 NumPy 数组），并且形状匹配。
• 与 *（逐元素乘法）和 np.dot()（点积）不同，@ 专门用于矩阵乘法。