凸函数与凹函数

对于$y=x^2$为凸函数一直 不理解，因为形状是凹的；后面才发现有特定的解释
在数学中，凸函数（Convex Function）和凹函数（Concave Function）的命名源于其几何性质，而非单纯依赖视觉上的“凸起”或“凹陷”。对于中文术语的困惑，主要源于以下几点：

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1. 术语的起源与翻译

• 英文术语：数学中的 “convex” 原意为“凸出的”，但定义核心是函数图像上方的区域是凸集（即任意两点连线完全位于区域内）。因此，开口向上的抛物线 f(x)=x2 是凸函数，因为其图像上方的区域（所有满足 y≥x2 的点）是凸集。
• 中文翻译：将 “convex function” 直译为“凸函数”，但中文的“凸”常被理解为“向外凸起”，而开口向上的抛物线在视觉上可能更像“凹坑”，导致混淆。

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2. 数学定义与直观形状的对应

• 凸函数的定义：对任意两点 x1,x2 和 λ∈[0,1]，满足
  $f(\lambda x1+(1-\lambda )x2)\le \lambda f(x1)+(1-\lambda )f(x2)$.
  几何上，函数图像上任意两点的连线位于图像上方（如抛物线 $f(x)=x^2$）。
• 凹函数的定义：将不等式反向，连线位于图像下方（如抛物线 $f(x)=-x^2$）。

函数类型	图像形状（二维）	二阶导数符号	几何性质
凸函数	开口向上（如碗口朝上）	f″(x)≥0	图像上方区域是凸集
凹函数	开口向下（如碗口朝下）	f″(x)≤0	图像下方区域是凹集