代码随想录算法训练营 Day38 动态规划Ⅵ 完全背包应用 多重背包

动态规划

组合与排列

DP 求组合数是外层遍历物品，内层遍历背包
DP求排列数是外层遍历背包，内层遍历物品

多重背包

多重体现在多个 0-1 背包，一个物品是有限个的背包问题

有N种物品和一个容量为V 的背包。第i种物品最多有Mi件可用，每件耗费的空间是Ci ，价值是Wi 。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的耗费的空间 总和不超过背包容量，且价值总和最大。
多重背包和01背包是非常像的， 为什么和01背包像呢？
每件物品最多有Mi件可用，把Mi件摊开，其实就是一个01背包问题了。

多重背包题目说明

重量	价值	数量
物品0	1	15	2
物品1	3	20	3
物品2	4	30	2
可以稍加转换为如下形式，拆解为若干 0-1 背包问题

重量	价值	数量
物品0	1	15	1
物品0	1	15	1
物品1	3	20	1
物品1	3	20	1
物品1	3	20	1
物品2	4	30	1
物品2	4	30	1

背包总结

在讲解背包问题的时候，我们都是按照如下五部来逐步分析，相信大家也体会到，把这五部都搞透了，算是对动规来理解深入了。

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
2. 确定递推公式
3. dp数组如何初始化
4. 确定遍历顺序
5. 举例推导dp数组

其实这五部里哪一步都很关键，但确定递推公式和确定遍历顺序都具有规律性和代表性，所以下面我从这两点来对背包问题做一做总结

递推公式总结

问能否能装满背包（或者最多装多少）：dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]); ，对应题目如下：

• 动态规划：416.分割等和子集(opens new window)
• 动态规划：1049.最后一块石头的重量 II(opens new window)

问装满背包有几种方法：dp[j] += dp[j - nums[i]] ，对应题目如下：

• 动态规划：494.目标和(opens new window)
• 动态规划：518. 零钱兑换 II(opens new window)
• 动态规划：377.组合总和Ⅳ(opens new window)
• 动态规划：70. 爬楼梯进阶版（完全背包）(opens new window)

问背包装满最大价值：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]); ，对应题目如下：

• 动态规划：474.一和零(opens new window)

问装满背包所有物品的最小个数：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]); ，对应题目如下：

• 动态规划：322.零钱兑换(opens new window)
• 动态规划：279.完全平方数

遍历顺序总结

01背包

在动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！ (opens new window)中我们讲解二维dp数组01背包先遍历物品还是先遍历背包都是可以的，且第二层for循环是从小到大遍历。
和动态规划：关于01背包问题，你该了解这些！（滚动数组） (opens new window)中，我们讲解一维dp数组01背包只能先遍历物品再遍历背包容量，且第二层for循环是从大到小遍历。
一维dp数组的背包在遍历顺序上和二维dp数组实现的01背包其实是有很大差异的，大家需要注意！

完全背包

说完01背包，再看看完全背包。
在动态规划：关于完全背包，你该了解这些！ (opens new window)中，讲解了纯完全背包的一维dp数组实现，先遍历物品还是先遍历背包都是可以的，且第二层for循环是从小到大遍历。
但是仅仅是纯完全背包的遍历顺序是这样的，题目稍有变化，两个for循环的先后顺序就不一样了。
如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
相关题目如下：

• 求组合数：动态规划：518.零钱兑换II(opens new window)
• 求排列数：动态规划：377. 组合总和 Ⅳ (opens new window)、动态规划：70. 爬楼梯进阶版（完全背包）(opens new window)

如果求最小数，那么两层for循环的先后顺序就无所谓了，相关题目如下：

• 求最小数：动态规划：322. 零钱兑换 (opens new window)、动态规划：279.完全平方数(opens new window)

对于背包问题，其实递推公式算是容易的，难是难在遍历顺序上，如果把遍历顺序搞透，才算是真正理解了。

题目

322. 零钱兑换 - 力扣（LeetCode）
完全背包问题下，装满背包最少多少件物品
1. Dp 表示装满背包 j 大小物品，最少需要多少物品
2. 递推公式类似于 dp[j]=min(dp[j],dp[j-coin[i]] + value[i])，只不过 value[i]=1
不要这个物品和要做个物品取其中最少数量的
3. 题目中说明了 dp[0]=0，由于求最少物品，非零下标初始化为 INT_MAX
4. 求最少元素数量，不是排列有不是组合，因此两种遍历顺序都可以
5. Dp 打印

int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
	// 定义dp数组
	std::vector<int> dp(amount+1, 0);
	// 初始化dp数组
	for (int i = 1; i <= amount; ++i) dp[i] = INT_MAX;
	// 遍历dp数组 先遍历物品再遍历背包
	for (int i = 0; i < coins.size(); ++i) {
		for (int j = coins[i]; j <= amount; ++j) {
			// 跳过初始值 防止相加越界
			if (dp[j - coins[i]] != INT_MAX) dp[j] = std::min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
		}
	}
	// 分支情况
	if (dp[amount] == INT_MAX) return -1;
	return dp[amount];
}


// 另一种遍历方式注意初始值
int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
	vector<int> dp(amount+1, INT_MAX);
	dp[0] = 0;
	// 先便利背包 再遍历物品 背包从1开始因为dp[0]=0存在
	for (int j = 1; j <= amount; ++j) {
		for (int i = 0; i < coins.size(); ++i) {
			// 当背包有空间且背包物品不是初始值
			if (j - coins[i] >= 0 && dp[j - coins[i]] != INT_MAX) dp[j] = min(dp[j], dp[j-coins[i]]+ 1);
		}
	}
	if (dp[amount] == INT_MAX) return -1;
	return dp[amount];
}

279. 完全平方数 - 力扣（LeetCode）
完全平方数，本质类似上一题，求完全平方数最少数量即最少数量填满背包
其中背包容量看作整数 n，物品可以看作从 0-n 之间数的平方即 nums[i] = i * i 属于完全平方数
因此两层遍历终止数量都是 n，题目中 10^4>=nums[i] >= 1 物品遍历从 1 开始
如果从 0 开始就会无限 0 相加，不用担心相加超过的情况，因此不需要判断也可以加上
不可能出现填充不满的情况，实在不行用 1 填充
1. Dp 表示填满 j 需要的最少数量物品
2. 递推公式类似上题 dp[j] = min(dp[j], dp[j-?]+1) 其中 ?=i*i
3. 初始化非零数为 dp[0]=0
4. 同样的遍历顺序都可以
5. 打印 dp 数组

// 先物品后背包
int numSquares(int n) {
	// 定义dp数组
	std::vector<int> dp(n+1, INT_MAX);
	dp[0] = 0;
	// dp遍历
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		for (int j = i*i; j <= n; ++j) {
			if(dp[j - i*i] != INT_MAX) dp[j] = std::min(dp[j], dp[j-i*i] + 1);
		}
	}
	return dp[n];
}

// 先背包后物品
int numSquares(int n) {
	vector<int> dp(n+1, INT_MAX);
	dp[0] = 0;
	for (int j = 1; j <= n; j++) {
		for (int i = 1; i * i <= j; ++i) {
			dp[j] = min(dp[j], dp[j - i*i] + 1);
		}
	}
	return dp[n];
}

139. 单词拆分 - 力扣（LeetCode）
看作完全背包问题，问有物品，能否用这些物品恰好装满背包？
1. Dp 含义，如果长度 i 字符串可以被组成则 dp[i]=true
2. 区间 [i, i+k] 单词在物品中，并且 dp[i]=true，则 dp[i+k]=true
3. Dp 初始化 dp[0]=true 便于推导，题目中 dp[0] 无意义，其他位置 dp[i]=false
4. 题目求排列数，因为要从物品匹配背包，要保证顺序，求排列数，先遍历背包再遍历物品即可
5. 打印 dp

bool wordBreak(string s, vector<string>& wordDict) {
	// 创建快速查询库
	std::unordered_set<string> words(wordDict.begin(), wordDict.end());
	// 创建dp数组
	std::vector<bool> dp(s.size()+1, false);
	dp[0] = true;
	// 遍历dp数组 由于求的是排列数先遍历背包再遍历物品
	for (int j = 1; j <= s.size(); ++j) {
		for (int i = 0; i <= j; ++i) {
			// 当前区间字符 i___j__
			string word = s.substr(i, j-i);
			// 当前区间之前字符串可以拼接 找到合适的之后本字符串也可以拼接
			if (words.find(word) != words.end() && dp[i] == true) dp[j] = true;
		}
	}
	return dp[s.size()];
}

56. 携带矿石资源（第八期模拟笔试）
多重背包看作多个 0-1 背包拼起来
1. Dp 数组表示 j 容量能装的最大价值
2. 递推公式 dp[j] = std::max(dp[j], dp[j-weight[i]] + value[i]
转化为 k dp[j] = std::max(dp[j], dp[j - k * weight[i]] + k * value[i]
3. Dp 初始化为 0
4. 0-1 背包遍历顺序先遍历物品，再遍历背包，背包遍历从后往前遍历，最后遍历数量
5. 打印 dp

#include
#include

int main() {
    int c = 0, n = 0;
    std::cin >> c >> n;
    // 存储数据
    std::vector<int> weight(n, 0);
    std::vector<int> value(n, 0);
    std::vector<int> nums(n, 0);

    for (int i = 0; i < n; ++i) std::cin >> weight[i];
    for (int i = 0; i < n; ++i) std::cin >> value[i];
    for (int i = 0; i < n; ++i) std::cin >> nums[i];

    // 创建dp数组
    std::vector<int> dp(c+1, 0);

    // 遍历dp数组 遍历物品然后背包最后数量
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        for (int j = c; j >= weight[i]; --j) {
            // 多重背包增加一个k次遍历物品
            for (int k = 1; k <= nums[i] && (j - k * weight[i]) >= 0; ++k) {
                dp[j] = std::max(dp[j], dp[j - k * weight[i]] + k * value[i]);
            }
        }
    }

    // 打印
    std::cout << dp[c] << std::endl;
    return 0;
}