动态规划——线性DP

动态规划——线性DP

最长不下降序列(LIS)

暴力搜索：由可行的所有起点出发，搜索出所有的路径。

但是深搜的算法时间复杂度要达到 $O(2^n)$ （每个数都有选或不选的两个选择），指数级的时间复杂度在本题中（$n\le 100$）显然是不能接受的。那么再观察这个这棵递归树，可以发现其中有很多重复的地方。

那么如何优化呢？

首先可以使用数组将重复的部分记录下来，此后遇到相同的状态直接引用已经记录在数组中的数据即可，这样的方法叫做记忆化搜索，也叫剪枝（后面我们再细讲）。

所以，如果按照上面的思路将需要计算的部分用数组记录，那么就可以省略那些重复的部分，所以最终我们需要计算的就只剩下以从 $1$ 到 $n$ 的每个点为起点的最长不下降序列。

以序列 $1,5,2,4,3$ 为例：

首先将以每个点为起点的所有长度都初始化为 $1$，所有下一步都初始化为 $0$。

起点下标	起点数值	最长不下降序列的长度	最长不下降序列的起点的下一步的下标
$5$	$3$	$len(3)=1$	$0$
$4$	$4$	$len(4)=1$	$0$
$3$	$2$	$len(2)=max(len(4),len(3))+1=2$	$4/5$
$2$	$5$	$len(5)=1$	$0$
$1$	$1$	$len(1)=max(len(5),len(2),len(4),len(3))+1=3$	$3$

综上，算法分析：

根据动态规划的原理，由后往前进行搜索(当然从前往后也一样)。

1. 对 $b(n)$ 来说，由于它是最后一个数，所以当从 $b(n)$ 开始查找时，只存在长度为 $1$ 的不下降序列；

2. 若从 $b(n-1)$ 开始查找，则存在下面的两种可能性：

   ①若 $b(n-1)<b(n)$ ，则存在长度为 $2$ 的不下降序列 $b(n-1)$，$b(n)$。

   ②若 $b(n-1)>b(n)$ ，则存在长度为 $1$ 的不下降序列 $b(n-1)$ 或 $b(n)$。

3. 一般若从 $b(i)$ 开始，此时最长不下降序列应该按下列方法求出：

   在 $b(i+1),b(i+2),\dots ,b(n)$ 中，找出一个比 $b(i)$ 大的且最长的不下降序列，作为它的后继。

数据结构：

为算法上的需要，定义一个整数类型二维数组 $b(N,3)$

1. $b(i,1)$ 表示第 $i$ 个数的数值本身；
2. $b(i,2)$ 表示从 $i$ 位置到达 $N$ 的最长不下降序列长度；
3. $b(i,3)$ 表示从 $i$ 位置开始最长不下降序列的下一个位置，若 $b[i,3]=$