lower_bound() 与 upper_bound()函数的介绍与应用
在学习二分算法时了解到了lower_bound()函数与upper_bound()函数。这是c++标准库中的提供的两个非常有用的二分查找函数，定义在
lower_bound
功能：lower_bound返回指向第一个不小于给定值的元素的迭代器(返回的是一个指针)。
行为:
1，在已排序的[first, last)范围内查找第一个不小于value的元素
2，如果所有元素都小于value，则返回last
3，时间复杂度：O(log n)（对于随机访问迭代器）
示例:
vector v = {1, 2, 4, 4, 5, 6};
auto it = lower_bound(v.begin(), v.end(), 4); // 指向第一个4
auto it2 = lower_bound(v.begin(), v.end(), 3); // 指向第一个4
auto it3 = lower_bound(v.begin(), v.end(), 7); // 返回v.end() upper_bound
功能：upper_bound返回指向第一个大于给定值的元素的迭代器(返回的是一个指针)。
行为：
1，在已排序的[first, last)范围内查找第一个大于value的元素
2，如果所有元素都不大于value，则返回last
3，时间复杂度：O(log n)（对于随机访问迭代器）
示例：
vector v = {1, 2, 4, 4, 5, 6};
auto it = upper_bound(v.begin(), v.end(), 4); // 指向5
auto it2 = upper_bound(v.begin(), v.end(), 6); // 返回v.end() 两者区别
| 特性 | lower_bound | upper_bound |
|---|---|---|
| 查找条件 | 第一个不小于value | 第一个大于value |
| 返回值 | 可能等于value | 一定大于value |
| 典型用途 | 查找插入位置(保持有序) | 查找范围上界 |
实际应用
1，查找元素是否存在：
bool exists = binary_search(v.begin(), v.end(), value);
// 等价于
bool exists = lower_bound(v.begin(), v.end(), value) != v.end() &&
*lower_bound(v.begin(), v.end(), value) == value;2 ，统计某值的出现次数：
int count = upper_bound(v.begin(), v.end(), value) -
lower_bound(v.begin(), v.end(), value);3，在有序序列中插入元素：
v.insert(lower_bound(v.begin(), v.end(), new_value), new_value);这两个函数是高效操作有序序列的基础工具，在竞赛编程和实际工程中都有广泛应用。
在当时的deepseek回答完我之后，我就产生了一个疑惑，lower_bound和upper_bound这两个函数的功能不会重复吗？在经过深度的思考过后，我终于明白了这两个函数的设计不是重复的，而是互补的，它们一起可以精确确定一个值在有序序列中的范围。
下面提供一个相关的题：P8667 [蓝桥杯 2018 省 B] 递增三元组 - 洛谷
题目描述
给定三个整数数组 A=[A1,A2,⋯,AN]，B=[B1,B2,⋯,BN]，C=[C1,C2,⋯,CN]。
请你统计有多少个三元组 (i,j,k) 满足：
- 1≤i,j,k≤N
- Ai
输入格式
第一行包含一个整数 N。
第二行包含 N 个整数 A1,A2,⋯,AN。
第三行包含 N 个整数 B1,B2,⋯,BN。
第四行包含 N 个整数 C1,C2,⋯,CN。
输出格式
一个整数表示答案
输入输出样例
输入 #1
3 1 1 1 2 2 2 3 3 3
输出 #1
27
如题所示，该题可以先将a，b，c三个数组进行排序。由数学关系不难看出，递增三元组的个数即对于数组b中的每一位数字，寻找在数组a中小于其数的个数乘以，在数组c中大于其数的个数。所以就可以从1到n进行遍历，在数组a中寻找小于b[i]的数的个数，在数组c中寻找大于b[i]的数的个数，然后再将它们相乘并累加起来，即可得到最终的答案。
由此思路，就可以把b[i]当作所寻找的值，利用lower_bound和upper_bound来分别在数组a和数组b中小于和大于s[i]的数的个数。
具体代码如下：
#include
#include
#include
using namespace std;
int main()
{
int n;
long long res = 0;
cin>>n;
vector a(n),b(n),c(n);
for (int i = 0;i < n;++i){
cin>>a[i];
}
for (int i = 0;i < n;++i){
cin>>b[i];
}
for (int i = 0;i < n;++i){
cin>>c[i];
}
sort(a.begin(),a.end());
sort(c.begin(),c.end());
for (int i = 0;i < n;++i){
//cnt1为数组a中第一个等于b[i]的数组下标，即小于b[i]的数量
long long cnt1 = lower_bound(a.begin(),a.end(),b[i]) - a.begin();
//cnt2为数组c中第一个大于b[i]的数组下标，n - cnt2即为大于b[i]的个数
long long cnt2 = upper_bound(c.begin(),c.end(),b[i]) - c.begin();
//累加结果
res += cnt1 * (n - cnt2);
}
cout<