P1099【NOIP2007提高组】树网的核
题目背景
NOIP2007提高组试题4。
题目描述
设 T=(V，E，W) 是一个无圈且连通的无向图（也称无根树），每条边带有正整数的权，我们称 T 为树网(treenetwork)，其中 V，E 分别表示结点与边的集合，W 表示各边长度的集合，并设 T 有 n 个结点。
路径：树网中任何两个结点 a，b 都存在唯一的一条简单路径，用 d(a,b) 表示以 a，b 为端点的路径长度，它是该路径上各边长度之和。我们称 d(a,b) 为 a，b 两个结点间的距离。
一点 v 到一条路径 p 的距离为该点与 p 上的最近的结点的距离：
d(v,p)=min{d(v,u),u为路径p上的结点}。
树网的直径：树网中最长的路径称为树网的直径。对于给定的树网 T，直径不一定是唯一的，但是可以证明：各直径的中点（不一定恰好是某个结点，可能在某条边的内部）是唯一的，我们称该点为树网的中心。
偏心距ECC（F）：树网 T 中距路径 F 最远的结点到路径 F 的距离，即：
ECC（F）=max{d(v,F),v∈V}。
任务：对于给定的树网 T=（V，E，W）和非负整数 S，求一个路径 F，它是某直径上的一段路径（该路径的两端均为树网中的结点），其长度不超过 S（可以等于S），使偏心距 ECC（F）最小，我们称这个路径为树网 T=（V，E，W）的核（Core）。必要时，F 可以退化为某个结点。一般来说，在上述定义下，核不一定只有一个，但是最小偏心距是唯一的。
下面的图给出了一个树网的一个实例。图中，A-B 与A-C 是两条直径，长度均为 20。点 W 是树网的中心，EF 边的长度为 5。如果指定 S=11，则树网的核为路径 DEFG（也可以取为路径 DEF），偏心距为 8，如果指定 S=0（或s=1、s=2）,则树网的核为结点 F，偏心距为 12。
输入格式
输入包含 n 行：
第 1 行：两个整数 n 和 s，中间用一个空格隔开。其中 n 为树网的核的长度的上界。设结点编号依次为1，2，…，n 。
从第 2 行到第 n 行，每行给出 3 个用空格隔开的正整数，依次表示每一条边的两个端点编号和长度。例如，“2 4 7 ”表示连接结点 2 与 4 的边的长度为 7。
所给的数据都是正确的，不必检验。
输出格式
输出只有一个非负整数，为指定意义下的最小偏心距。
样例数据 1
输入
5 2
1 2 5
2 3 2
2 4 4
2 5 3
输出
5
样例数据 2
输入
8 6
1 3 2
2 3 2
3 4 6
4 5 3
4 6 4
4 7 2
7 8 3
输出
5
备注
【数据范围】
40% 的数据满足：5<=n<=15
70% 的数据满足：5<=n<=80
100% 的数据满足：5<=n<=300，0<=s<=1000。边长度为不超过 1000 的正整数。
传送门
题意
这道题的题意首先要读懂。
简单说，
要求路径长度<=S,且路径外的点到当前路径距离的距离最小
路径外的点到当前路径距离的距离: 最远的距
解析
首先，树的直径可能有多条，但可以任选一条直径处理，答案不变。
由此我们可以写出这样的算法，找到任意一条直径，枚举直径上所有路径，找到每条路径上的偏心距，其中最小的偏心距就是答案，这条路径就是树网的核。
时间复杂度O(N^3)
完结撒花
虽然O(N^3)算法足以通过本题，但正所谓“即使原始的数据范围很水，也要尽力优化。AC不是我们的终极目标，我们的终极目标是获得经验。”
数据加强版 P2491消防 1<=n<=3*10^5
考虑优化，根据树的直径的性质：距离任意点最远的一点是直径的一个端点。
如图，图中A-B,为树的一条直径，白色部分为选择的路径F，那么偏心距就会受到图中三个部分的影响。其中，第一部分和第三部分比较好求就是A到F的距离和B到F的距离，否则不满足树的直径的定义。那么第二部分呢？路径F未知，但我们可以预处理，每个点到树的直径的距离。
因此，最终答案就是三部分的最大值。
算法步骤
（1）两遍的dfs求出树的直径len,求出直径上一个点x，直径的两个端点，f[x]为每个点的父节点，d[x]为每个点到根的距离，c[x]为直径上的点。
（2）通过尺取法枚举所有合法区间，求出他们到直径两个端点的距离中较大值。所有较大值中取最小值，记为ans1；
（3）搜索不在直径上的每个点距离的最大值，记为ans2；
偏心距为max(ans1,ans2);
代码
算法复杂的为o(n)，具体代码如下
#include
using namespace std;
const int N=300050;
int n,s,f[N],d[N],len,x0,x1,x2,x,y,ans=INT_MAX;
bool c[N];
struct node{
int v,w;
};
vector v[N];
void dfs(int x,int fa){
f[x]=fa;
for(int i=0;ilen){
len=d[y.v];
x0=y.v;
}
dfs(y.v,x);
}
}
signed main(){
cin>>n>>s;
for(int i=1;i>x>>y>>w;
v[x].push_back({y,w});
v[y].push_back({x,w});
}
d[1]=1;
dfs(1,0);
x1=x0;
d[x1]=0;
len=0;
dfs(x1,0);
x2=x0;
for(x=x2,y=x2;y;y=f[y]){
while(d[x]-d[y]>s) x=f[x];
ans=min(ans,max(d[y],d[x2]-d[x]));
}
for(x=x2;x!=0;x=f[x]) c[x]=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
if(c[i]){
d[i]=0;
dfs(i,f[i]);
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)
ans=max(ans,d[i]);
cout<