探索 C++ 石子合并问题：算法解析与代码实现

在算法学习的漫漫长路上，石子合并问题是一道极具代表性的经典题目，它不仅考验对动态规划算法思想的理解，还能让我们在实践中提升代码编写与问题解决能力。今天，咱们就借助 C++ 这把利器，深入剖析石子合并问题。

一、问题描述

假设有 N 堆石子排成一排，每堆石子有一定数量，记为 a1, a2,..., aN。现要将这些石子合并成一堆，每次只能合并相邻的两堆石子，合并这两堆石子的代价是这两堆石子数量之和。问怎样合并才能使总代价最小？例如，有 3 堆石子分别为 3, 4, 5，若先合并 3 和 4，代价为 3 + 4 = 7，新堆变为 7, 5，再合并代价为 7 + 5 = 12，总代价是 7 + 12 = 19；若先合并 4 和 5，再合并新堆与 3，总代价则是 9 + 12 = 21，可见不同合并顺序代价不同。

二、算法思路：动态规划解法

动态规划关键在于找到最优子结构与重叠子问题。对于石子合并，定义 dp[i][j] 表示将第 i 堆到第 j 堆石子合并成一堆的最小代价。

基础情况：当 i == j 时，只有一堆石子，dp[i][j] = 0，因为无需合并操作。

状态转移方程推导：对于 dp[i][j]（i < j），需遍历 i 到 j 间分割点 k，尝试所有合并可能。先合并 i 到 k 堆与 k + 1 到 j 堆，代价是这两部分石子总和 sum[i][j]（可预处理求出任意区间石子总和），加上合并这两部分产生的子问题代价 dp[i][k] + dp[k + 1][j]，取最小值更新 dp[i][j]，即 dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k + 1][j] + sum[i][j])（i <= k < j）。

三、C++ 代码实现

收起

cpp

#include 
#include 
using namespace std;

const int INF = 0x3f3f3f3f;  // 定义极大值，用于初始化 dp 数组

int stoneMerge(vector& stones) {
    int n = stones.size();
    // 预处理石子总和数组 sum，sum[i][j] 表示第 i 堆到第 j 堆石子总和
    vector> sum(n, vector(n, 0));
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        sum[i][i] = stones[i];
        for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
            sum[i][j] = sum[i][j - 1] + stones[j];
        }
    }
    // dp 数组初始化，dp[i][j] 表示合并第 i 堆到第 j 堆石子最小代价
    vector> dp(n, vector(n, INF));
    for (int i = 0; i < n; ++i) dp[i][i] = 0; 

    // 动态规划计算 dp 数组
    for (int len = 2; len <= n; ++len) {  // 枚举合并区间长度
        for (int i = 0; i <= n - len; ++i) {  // 枚举区间起始位置
            int j = i + len - 1;  // 确定区间结束位置
            for (int k = i; k < j; ++k) {
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k + 1][j] + sum[i][j]);
            }
        }
    }
    return dp[0][n - 1];  // 返回合并所有石子最小代价
}

你可以这样调用函数：

收起

cpp

int main() {
    vector stones = {3, 4, 5};  // 示例石子堆数据
    cout << "最小合并代价: " << stoneMerge(stones) << endl;
    return 0;
}

这段代码先预处理出石子总和数组 sum，再通过三层循环按区间长度递增顺序计算 dp 数组，最终得到合并所有石子最小代价。外层循环控制合并区间长度从 2 到 n，中层循环确定区间起始位置，内层循环遍历分割点 k 更新 dp[i][j]。

四、优化拓展

1. 空间优化：观察到计算 dp[i][j] 时只用到 dp[i][k] 和 dp[k + 1][j]（k >= i 且 k < j），即当前行及上一行数据，可用滚动数组技巧，将二维 dp 降为一维，减少空间复杂度。
2. 环形石子合并：若石子排成环形，首尾相连，只需复制一份石子序列接在原序列后，长度变为 2n，然后在新序列上求解普通石子合并问题，取 dp[0][n - 1]，dp[1][n]，...，dp[n - 1][2n - 2] 最小值，因为这些情况涵盖了所有环形合并可能，巧妙转化为已解决问题。

石子合并问题是算法海洋里的一颗璀璨珍珠，吃透它，能帮你更深入理解动态规划精髓，在后续复杂算法挑战中乘风破浪。持续钻研，不断用代码实践，定能提升编程功力！