每日一题：P1434 [SHOI2002] 滑雪(dfs/记忆化搜索)

长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。——李白《行路难》

题目描述

平台 ：洛谷

传送门 ：[P1434 [SHOI2002] 滑雪](P1434 [SHOI2002] 滑雪)

难度 ：普及/提高-

考察算法：dfs 记忆化搜索

Michael 喜欢滑雪。这并不奇怪，为了获得速度，滑的区域必须向下倾斜，而且当你滑到坡底，你不得不再次走上坡或者等待升降机来载你。Michael 想知道在一个区域中最长的滑坡。区域由一个二维数组给出。数组的每个数字代表点的高度。下面是一个例子：

1   2   3   4   5
16  17  18  19  6
15  24  25  20  7
14  23  22  21  8
13  12  11  10  9

一个人可以从某个点滑向上下左右相邻四个点之一，当且仅当高度会减小。在上面的例子中，一条可行的滑坡为 $24-17-16-1$（从 $24$ 开始，在 $1$ 结束）。当然 $25$－$24$－$23$－$\dots$－$3$－$2$－$1$ 更长。事实上，这是最长的一条。

输入格式

输入的第一行为表示区域的二维数组的行数 $R$ 和列数 $C$。下面是 $R$ 行，每行有 $C$ 个数，代表高度(两个数字之间用 $1$ 个空格间隔)。

输出格式

输出区域中最长滑坡的长度。

输入输出样例 #1

输入 #1

5 5
1 2 3 4 5
16 17 18 19 6
15 24 25 20 7
14 23 22 21 8
13 12 11 10 9

输出 #1

25

说明/提示

对于 $100\%$ 的数据，$1\le R,C\le 100$。

解题思路

1. 对于样例，我们从第二行第三列，也就是高度为25的这个点开始往下滑能滑最远。因为点的数量不是很多，最多只有$100\times 100=10000$ 个点，我们考虑对每个点进行搜索，获得这个点能往下滑的最远距离f[i][j]，依次求出每个点往下滑的最远距离f[i][j]，并更新我们的答案res。

AC代码

#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 110;

int w[N][N], n, m, res; // 用w数组储存点的海拔，res存储答案
int f[N][N];
int dx[4] = {1, 0, -1, 0}, dy[4] = {0, 1, 0, -1}; // 方便枚举上下左右四个点

int dp(int a, int b)
{
    if (f[a][b] != -1) return f[a][b]; // 记忆化搜索，如果这个点已经被搜过，直接返回这个点能到的最远距离
    
    f[a][b] = 1; // 每个点能到的最远距离最少为1，即为他本身
    for (int i = 0; i < 4; i ++) // 枚举上下左右四个点
    {
        int x = a + dx[i], y = b + dy[i];
        // 判断，如果这个点没有超过边界，并且比我们当前点低，我们就进行状态转移
        if (x >= 1 && y >= 1 && x <= n && y <= m && w[a][b] > w[x][y]) 
            f[a][b] = max(f[a][b], dp(x, y) + 1);
    }
    
    return f[a][b];
}

int main()
{
    memset(f, -1, sizeof f); // 开局将f数组初始化为0

    cin >> n >> m; 输入行和列

    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 1; j <= m; j ++)
            cin >> w[i][j]; // 输入每个点的海拔

    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 1; j <= m; j ++)
            res = max(res, dp(i, j)); // 搜索每个点能到的最远距离并更新res

    cout << res << endl;

    return 0;
}