算术表达式通常有三种表示形式：中缀表达式、前缀表达式（波兰式）和后缀表达式（逆波兰式）。分别都是什么？

1. 中缀表达式（Infix Notation）

• 形式：运算符位于两个操作数中间，如 A + B。
• 特点：
  • 直观：符合人类日常书写习惯，易于阅读。
  • 需要括号和优先级：依赖运算符优先级（如乘除高于加减）和括号来明确运算顺序。
  • 计算复杂：计算机需借助栈或递归下降解析器处理优先级和括号。

示例：

• 3 + 4
• (5 - 2) * 7
• A + B * C

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2. 前缀表达式（Prefix Notation，波兰式）

• 形式：运算符位于操作数之前，如 + A B。
• 特点：
  • 无需括号：运算顺序由运算符位置决定。
  • 从右向左扫描：计算时需从右向左解析表达式。
  • 计算机友好：可通过栈高效计算，常用于编译器或Lisp类语言。

示例：

• + 3 4 → 等价于 3 + 4
• * - 5 2 7 → 等价于 (5 - 2) * 7
• + A * B C → 等价于 A + (B * C)

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3. 后缀表达式（Postfix Notation，逆波兰式）

• 形式：运算符位于操作数之后，如 A B +。
• 特点：
  • 无需括号和优先级：运算顺序由运算符位置唯一确定。
  • 从左向右扫描：计算时按顺序处理，遇到运算符立即执行。
  • 高效计算：栈的天然适配（操作数入栈，遇到运算符弹出计算）。

示例：

• 3 4 + → 等价于 3 + 4
• 5 2 - 7 * → 等价于 (5 - 2) * 7
• A B C * + → 等价于 A + (B * C)

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对比与转换

形式	示例	转换规则
中缀 → 前缀	A + B * C → + A * B C	从右向左扫描，按优先级插入运算符（需调车场算法或递归法）。
中缀 → 后缀	A + B * C → A B C * +	从左向右扫描，利用栈处理优先级和括号（经典调车场算法）。

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命名来源

• 前缀表达式：由波兰数学家扬·卢卡西维茨（Jan Łukasiewicz）提出，故称“波兰式”。
• 后缀表达式：为前缀的逆形式，得名“逆波兰式”。

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应用场景

• 中缀表达式：人类可读的数学表达、编程语言中的公式。
• 前缀/后缀表达式：编译器中间代码、计算器解析（如逆波兰式计算器）、函数式编程。