acwing算法提高之图论--二分图

1 介绍

本专题用来记录二分图的题目。

以下条件互相等价：

1. 一个图是二分图。
2. 染色法过程中不存在矛盾。
3. 图中不存在奇数环。

二分图本质上是一个无向图的问题！

结论：
最大匹配数 = 最小点覆盖 = 总点数 - 最大独立集 = 总点数 - 最小路径覆盖

2 训练

题目1：257关押罪犯

C++代码如下，

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

const int N = 20010;
int n, m;
vector<vector<PII>> g(N);
int color[N];

bool dfs(int a, int c, int mid) {
   
    color[a] = c;
    
    //看结点a能走到哪儿
    for (auto [b, w] : g[a]) {
   
        if (w <= mid) continue; 
        if (!color[b] && !dfs(b, 3 - c, mid)) return false;
        if (color[b] && color[b] == c) return false;
    }
    return true;
}

bool check(int mid) {
   
    memset(color, 0, sizeof color);
    bool flag = true;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
   
        if (!color[i] && !dfs(i, 1, mid)) {
   
            flag = false;
            break;
        }
    }
    return flag;
}

int main() {
   
    cin >> n >> m;
    int a, b, w;
    while (m--) {
   
        cin >> a >> b >> w;
        g[a].emplace_back(b, w);
        g[b].emplace_back(a, w);
    }
    
    int l = 0, r = 1e9;
    int res = -1;
    while (l <= r) {
   
        int mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid)) {
   
            r = mid - 1;
            res = mid;
        } else {
   
            l = mid + 1;
        }
    }
    
    cout << res << endl;
    
    return 0;
}

题目2：