【leetcode100】整数拆分

1、题目描述

给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。

返回 你可以获得的最大乘积 。

示例 1:

输入: n = 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。

示例 2:

输入: n = 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。

2、初始思路

2.1 思路

使用动态规划的思想

1、dp表示的是最大乘积

2、递推公式（可以分为两个数相乘，或者两个数以上相乘）

如果是两个数，那么为（i-j)*j，如果为两个数以上，那么为dp[j]*(i-j)

3、初始化dp数组，dp[2]=dp[1]=1

4、确定遍历顺序 

2.2 代码

class Solution:
    def integerBreak(self, n: int) -> int:
        if n <= 2:
            return 1
        dp = [0] * (n+1)
        dp[1] = dp[2] = 1
        for i in range(3,n+1):
            for j in range(i-1, 1, -1):
                dp[i] = max(dp[i], max((dp[j] * (i-j)), (i-j)*j))
        return dp[n]

3 优化算法

3.1 思路

数学上已经证明，对于一个整数 n：最优的拆分方式是将尽可能多地拆分成数字 3。

当剩下的部分是 4 时，不要拆成 3 + 1（因为 3×1 = 3，而 2×2 = 4 更优）。

所以规则是：

• 拆成尽量多的 3
• 如果剩下的是 1，那就从前面拿一个 3 改成 2 + 2
• 如果剩下的是 2 或 4，直接乘上去

3.2 代码

class Solution:
    def integerBreak(self, n: int) -> int:
        if n <= 2:
            return 1
        if n == 3:
            return 2
        a = n // 3
        m = n % 3
        if m == 0:
            res = pow(3,a)
        elif m == 1:
            res = pow(3,a-1) * 4
        else:
            res = pow(3,a) * 2
        return res