004 二分算法：从入门到精通，一文吃透所有二分变种问题！

摘要

二分算法是解决有序数据快速查找和极值优化问题的核心工具，能将时间复杂度从O(n)优化至O(logn)。无论是经典的数组搜索、旋转数组问题，还是复杂的最值优化场景（如“最大值最小化”），二分法都展现出强大的威力。本文通过LeetCode高频题目。详解二分法的核心原理与模板，帮你彻底掌握这一算法！

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目录

1. 二分法的核心思想与适用场景
2. 基础二分查找：标准模板与变形
3. 边界问题：寻找左右边界
4. 旋转数组与极值问题
5. 二分答案：最大值最小化问题
6. 二维与复杂场景应用
7. 二分法通用模板与避坑指南
8. 总结与高频技巧

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1. 二分法的核心思想与适用场景

1.1 核心思想

通过不断缩小搜索区间，将线性遍历的复杂度O(n)降低为O(logn)。核心步骤：

1. 确定搜索范围的初始左右边界 left 和 right
2. 计算中间位置 mid，根据比较结果调整边界
3. 循环直到找到目标或区间闭合

1.2 适用场景

• 有序数组查找：如升序数组找目标值（704题）
• 极值优化问题：如“最小化最大值”（410题）
• 部分有序数组：如旋转数组找最小值（153题）
• 数学问题转化：如求平方根（69题）

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2. 基础二分查找：标准模板与变形

例题1：二分查找

问题：在有序数组中查找目标值，返回索引，不存在则返回-1。
标准模板：

def binary_search(nums, target):
    left, right = 0, len(nums) - 1
    while left <= right:  # 闭区间
        mid = left + (right - left) // 2  # 防溢出
        if nums[mid] == target:
            return mid
        elif nums[mid] < target:
            left = mid + 1
        else:
            right = mid - 1
    return -1

例题2：搜索插入位置

问题：找到目标值应插入的位置（首个≥target的索引）。
左边界模板：

def search_insert(nums, target):
    left, right = 0, len(nums)  # 右边界开区间
    while left < right:
        mid = left + (right - left) // 2
        if nums[mid] >= target:
            right = mid
        else:
            left = mid + 1
    return left  # 若target比所有元素大，left会等于len(nums)

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3. 边界问题：寻找左右边界

例题3：在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

关键点：分别用左边界和右边界模板查找起始和结束位置。

左边界模板（找第一个等于target的位置）：

def find_left(nums, target):
    left, right = 0, len(nums)
    while left < right:
        mid = left + (right - left) // 2
        if nums[mid] >= target:
            right = mid
        else:
            left = mid + 1
    return left if left < len(nums) and nums[left] == target else -1

右边界模板（找最后一个等于target的位置）：

def find_right(nums, target):
    left, right = 0, len(nums)
    while left < right:
        mid = left + (right - left) // 2
        if nums[mid] > target:
            right = mid
        else:
            left = mid + 1
    return left - 1 if left > 0 and nums[left-1] == target else -1

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4. 旋转数组与极值问题

例题4：寻找旋转排序数组中的最小值

关键点：最小值一定出现在旋转点右侧，通过比较nums[mid]与nums[right]调整区间。

def find_min(nums):
    left, right = 0, len(nums) - 1
    while left < right:
        mid = left + (right - left) // 2
        if nums[mid] > nums[right]:  # 最小值在右侧
            left = mid + 1
        else:  # 最小值在左侧或mid处
            right = mid
    return nums[left]

例题5：搜索旋转排序数组

核心逻辑：先判断mid在左半段还是右半段，再判断target所在区间。

def search(nums, target):
    left, right = 0, len(nums) - 1
    while left <= right:
        mid = (left + right) // 2
        if nums[mid] == target:
            return mid
        # 判断mid在左半段还是右半段
        if nums[mid] >= nums[left]:  # 左半段有序
            if nums[left] <= target < nums[mid]:
                right = mid - 1
            else:
                left = mid + 1
        else:  # 右半段有序
            if nums[mid] < target <= nums[right]:
                left = mid + 1
            else:
                right = mid - 1
    return -1

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5. 二分答案：最大值最小化问题

例题6：分割数组的最大值

问题：将数组分割为k个子数组，使每个子数组和的最大值最小。
二分答案法步骤：

1. 确定答案范围：左边界为数组最大值，右边界为总和
2. 验证给定最大值是否可行（贪心分割）
3. 调整左右边界

代码实现：

def split_array(nums, k):
    left, right = max(nums), sum(nums)
    
    def is_valid(max_sum):
        count, curr = 1, 0
        for num in nums:
            if curr + num > max_sum:
                count += 1
                curr = num
            else:
                curr += num
            if count > k:
                return False
        return True
    
    while left < right:
        mid = left + (right - left) // 2
        if is_valid(mid):
            right = mid
        else:
            left = mid + 1
    return left

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6. 二维与复杂场景应用

例题7：搜索二维矩阵II

技巧：从右上角开始Z字形搜索，逐步缩小范围。

def search_matrix(matrix, target):
    if not matrix:
        return False
    row, col = 0, len(matrix[0]) - 1
    while row < len(matrix) and col >= 0:
        if matrix[row][col] == target:
            return True
        elif matrix[row][col] > target:
            col -= 1
        else:
            row += 1
    return False

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7. 二分法通用模板与避坑指南

7.1 通用模板

# 闭区间模板（明确终止条件）
def binary_search_template(nums, target):
    left, right = 0, len(nums) - 1
    while left <= right:
        mid = left + (right - left) // 2
        if nums[mid] == target:
            return mid
        elif nums[mid] < target:
            left = mid + 1
        else:
            right = mid - 1
    return -1

# 左闭右开模板（适合找边界）
def left_bound_template(nums, target):
    left, right = 0, len(nums)
    while left < right:
        mid = left + (right - left) // 2
        if nums[mid] >= target:
            right = mid
        else:
            left = mid + 1
    return left  # 注意检查越界

7.2 避坑指南

1. 循环条件混淆：闭区间用left <= right，左闭右开用left < right
2. 中间值计算：使用mid = left + (right - left) // 2防止溢出
3. 边界更新错误：左边界更新为mid + 1，右边界更新为mid - 1或mid
4. 未处理重复元素：寻找边界时需特殊处理

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8. 总结与高频技巧

✅ 高频技巧

1. 左闭右开更简洁：适合处理边界问题，减少边界条件判断
2. 画图辅助分析：对旋转数组、二维矩阵等问题画出关键节点
3. 二分答案法三步走：确定范围 → 验证函数 → 二分收缩
4. 优先处理明确条件：如旋转数组中先判断mid所在区间

核心结论

掌握二分法的关键在于理解区间收缩逻辑和循环不变量。通过模板变形、画图分析和大量练习，可以应对90%的二分变种问题！

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