【计算方法/数值分析】 期末复习整理

1.多项式计算的秦九韶算法

对于$f(x)=a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}...a_{n-1}x+a_n$

计算顺序按表格从上往下，从左往右

	$a_0$	$a_1$	$a_2$	…	$a_{n-1}$	$a_n$
$x=x_0$		$b_0{x}_0$	$b_1{x}_0$	…	$b_{n-2}{x}_0$	$b_{n-1}{x}_0$
	$b_0$	$b_1$	$b_2$	…	$b_{n-1}$	$b_n=f(x_0)$

例如，$x_0=2,f(x)=3x^4-x^2+x+2$

	3	0	-1	1	2
$x_0=2$		6	12	22	46
	3	6	11	23	48

2.方程求根的二分法算法描述

伪代码示例：

input a,b//满足f(a)f(b)<0
input 精度要求e
do{
	x=(a+b)/2;
	if (f(a)f(x)<0)
		b=x
	else
		a=x
}while(b-a>e);
output x

真实代码：求一个数的三次方根

#include 
#include 
double n;
using namespace std;
int main() {
    cin >> n;
    double l, r, mid;
    l = -2147483648;
    r =  2147483647;
    while (r - l >= 1e-7) {
        mid = (l + r) / 2;
        if (mid * mid * mid >= n)
            r = mid;
        else l = mid;
    }
    cout << fixed << setprecision(6) << mid;
}

3.方程求根的简单迭代法

迭代格式$x=\varphi (x)$,$\varphi (x)$在$[a,b]$上具有连续一阶导数，$x\in [a,b]$时$\varphi (x)\in [a,b]$,$\exists L<1$使得$\forall x\in [a,b],|{\varphi }^{\prime }(x)|\le L$,则有$x^{\ast }=\varphi (x^{\ast })$

将方程改写为等价形式$x=\varphi (x)$，得到迭代格式$x_{k+1}=\varphi (x_k)$,取$x_0\in [a,b]$,得到序列$x_0,x_1,...,x_n$

事后估计式：$|x_k-x^{\ast }|\le \frac{L}{1-L}|x_k-x_{k-1}|$,终止条件$|x_k-x_{k-1}|\le ϵ$

事前估计式：$|x_k-x^{\ast }|\le \frac{L^k}{1-L}|x_1-x_0|$

渐进估计式：$\underset{k\to 0}{\lim }\frac{x_{k+1}-x^{\ast }}{x_k-x^{\ast }}={\varphi }^{\prime }(x^{\ast })$

$[a,b]$内存在根$x^{\ast }$,$x\in [a,b]$时$|{\varphi }^{\prime }(x)\ge 1|$,则发散

局部收敛：在$x^{\ast }$邻域$S$内对$\forall x_0\in S,x_{k+1}=\varphi (x_k)$收敛，则局部收敛。即：$|{\varphi }^{\prime }(x^{\ast })|<1$，局部收敛。$|{\varphi }^{\prime }(x)|>1$,发散

收敛速度：$e_k=x_k-x^{\ast },{\lim }_{k\to \infty }\frac{e_{k+1}}{e_k^p}=c$,则$p$阶收敛。若$p=1$且$0<|c|<1$,则线性收敛。若$p>1$，则超线性收敛。若$p=2$,则平方收敛。简单迭代法当${\varphi }^{\prime }(x^{\ast })\ne 0$时线性收敛

4.线性方程组数值解的高斯消去法

普通的高斯消元法：输入一个包含 $n$ 个方程 $n$ 个未知数的线性方程组。方程组中的系数为实数。求解这个方程组。

高斯消元法分两个步骤：1.消元 2.回代。在列主元高斯消元法中，每一次消元都需要交换行，选择
$$|a_{t,k}^{(k)}|=\underset{k\le i\le n}{\max }|a_{i,k}^{(k)}|$$

伪代码描述：

for k=1 to n-1 do
	for i=k+1 to n do
    {
    	l=-a[i][k]/a[k][k];
    	for j = 1 to n do
    		a[i][j]=a[i][j]+l*a[k][j]
    	b[i]=b[i]+l*b[k];
    }
  
for k = n downto 1 do
	{
		s=0;
		for j=k+1 to n do
			s=s+a[k][j]*x[j];
		x[k]=(b[k]-s)/a[k][k];
	}

真实代码：

#include
#include
#include
using namespace std;
const double ep=1e-6;
double a[105][105];
int n;
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=0;i>a[i][j];
    int c,r;
    for(c=0,r=0;cfabs(a[t][c]))    
                t=i;
        }
        if (fabs(a[t][c])=c;i--)
            a[r][i]/=a[r][c];
        for(int i=r+1;iep)
                for(int j=n;j>=c;j--)
                    a[i][j]-=a[r][j]*a[i][c];
        r++;
    }
    if (rep){
                puts("No solution");
                return 0;
            }
        puts("Infinite group solutions");
        return 0;
    }
    else{
        for(int i=n-1;i>=0;i--)
            for(int j=i+1;j<=n;j++)
                a[i][n]-=a[j][n]*a[i][j];
        for (int i = 0; i < n; i ++ ) 
            printf("%.2lf\n", a[i][n]);
    }
    return 0;        
}

5.拉格郎日插值多项式与插值余项

对$f(x_k)=y_k$
$$L_n(x)=\sum _{k=0}^n{y}_k{l}_k(x)=\sum _{k=0}^n(\prod _{\begin{array}{c}i=0\\ i\ne k\end{array}}\frac{x-x_i}{x_k-x_i})y_k$$

$$R_n(x)=f(x)-L_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}{W}_{n+1}(x)$$

(3)为插值多项式余项。其中，
$$W_{n+1}(x)=(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n)$$
若$f(x)$为次数不超过$n$的多项式，则$R_n(x)=0$.
$$f(x)\equiv 1\Rightarrow \sum _{j=0}^n{l}_j(x)\equiv 1$$
$f^{n+1}(\xi )$不能具体求出。但可以求出误差限：
$$\underset{a\le x\le b}{\max }|f^{(n+1)}(x)|=M_{n+1}$$

$$|R_n(x)|\le \frac{M_{n+1}}{(n+1)!}|W_{n+1}(x)|$$

6.曲线拟合的最小二乘法多项式拟合方程组

$P(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2...a_m{x}^m$
( ∑ i = 1 n x i 0 ∑ i = 1 n x i 1 . . . ∑ i = 1 n x i m ∑ i = 1 n x i 1 ∑ i = 1 n x i 2 . . . ∑ i = 1 n x i m + 1 . . . . . . . . . . . . ∑ i = 1 n x i m ∑ i = 1 n x i m + 1 . . . ∑ i = 1 n x i 2 m ) ( a 0 a 1 . . . a m ) = ( ∑ i = 1 n y i ∑ i = 1 n x i y i . . . ∑ i = 1 n x i m y i ) \begin{pmatrix}\sum\limits_{i=1}^nx_i^0&\sum\limits_{i=1}^nx_i^1&...&\sum\limits_{i=1}^nx_i^m\\\sum\limits_{i=1}^nx_i^1&\sum\limits_{i=1}^nx_i^2&...&\sum\limits_{i=1}^nx_i^{m+1}\\...&...&...&...\\\sum\limits_{i=1}^nx_i^m&\sum\limits_{i=1}^nx_i^{m+1}&...&\sum\limits_{i=1}^nx_i^{2m}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_0\\a_1\\...\\a_m\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sum\limits_{i=1}^ny_i\\\sum\limits_{i=1}^nx_iy_i\\...\\\sum\limits_{i=1}^nx_i^my_i\end{pmatrix} ​i=1∑n​xi0​i=1∑n​xi1​...i=1∑n​xim​​i=1∑n​xi1​i=1∑n​xi2​...i=1∑n​xim+1​​............​i=1∑n​xim​i=1∑n​xim+1​...i=1∑n​xi2m​​ ​ ​a0​a1​...am​​ ​= ​i=1∑n​yi​i=1∑n​xi​yi​...i=1∑n​xim​yi​​ ​

7.定积分计算的复化辛卜生公式算法描述

$$S_n(f)=\frac{h}{6}[f(x_0)+2\sum _{k=1}^{n-1}f(x_k)+f(x_n)+4\sum _{k=0}^{n-1}f(x_{k+\frac{1}{2}})]$$

$h=(b-a)/n,x_1=a,x_2=a+\frac{h}{2};y_1=0;y_2=f(x_2)$

伪代码：

for (i=1;i<=n-1;i++){
    x1=x1+h;
    x2=x2+h;
    y1=y1+f(x1);
    y2=y2+f(x2);
}
S=(f(a)+f(b)+2*y1+4*y2)*h/6
output S

8. 复化求积公式的阶与变步长求积公式稳定性

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{I(f)-I_n(f)}{h^p}=c,h=\frac{b-a}{n}$$

该公式$p$阶收敛

复化梯形：2阶。复化辛卜生：4阶。复化柯特斯：6阶

复化求积公式误差：$I(f)-I_n(f)=c{h}^p,I(f)-I_{2n}(f)\approx \frac{1}{2^p}c{h}^p$,$|I(f)-I_{2n}(f)|\approx \frac{1}{2^p-1}|I_{2n}(f)-I_n(f)|\le ϵ$

变步长梯形公式：
$$\begin{gathered} T_n(f)=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{h}{2}[f(x_k)+f(x_{k+1})] \\ {T}_{2n}(f)=\frac{1}{2}{T}_n+\frac{h}{2}\sum _{k=0}^{n-1}f(x_{k+\frac{1}{2}}) \end{gathered}$$
其中，$h$为二分前的步长
$$I(f)-I_{2n}(f)\approx \frac{1}{2^p}[(I(f)-I_n(f)]<1$$
即：每二分一次，截断误差缩小2倍，变步长求积公式稳定。
$$|\frac{I(f)-I_{2n}(f)}{I(f)-I_n(f)}|=\frac{1}{2^p}<1$$
复化梯形公式：
$$\begin{gathered} T_n(f)=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{h}{2}[f(x_k)+f(x_{k+1})], \\ {S}_n(f)=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{h}{6}[f(x_k)+4f(x_{k+\frac{1}{2}})+f(x_{k+1})], \\ {C}_n(f)=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{h}{90}[7f(x_k)+32f(x_{k+\frac{1}{4}})+12f(x_{k+\frac{1}{2}})+32f(x_{k+\frac{3}{4}})+7f(x_{k+1})] \end{gathered}$$
例如：计算$I={\int }_0^1\frac{4}{1+x^2}dx$
$$\begin{gathered} T_1=\frac{1-0}{2}[f(0)+f(1)]=3 \\ {T}_2=\frac{1}{2}{T}_1+\frac{1}{2}f(\frac{1}{2})=3.1 \\ {T}_4=\frac{1}{2}{T}_2+\frac{1}{2}\ast \frac{1}{2}\ast [f(\frac{1}{4})+f(\frac{3}{4})]=3.13118 \\ {T}_8=\frac{1}{2}{T}_4+\frac{1}{2}\ast \frac{1}{4}\ast [f(\frac{1}{8})+f(\frac{3}{8})+f(\frac{5}{8})+f(\frac{7}{8})]=\mathrm{3.13899...} \end{gathered}$$
对于精度$ϵ$,$\frac{1}{2^p-1}|I_{2n}(f)-I_n(f)|<ϵ$时，$I(f)-I_{2n}(f)\approx \frac{1}{2^p-1}|I_{2n}(f)-I_n(f)|\le ϵ$

9.数值微分计算的中点公式

$$\begin{gathered} D(h)=\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h} \\ {f}^{\prime }(x)=\frac{1}{2h}[-f(x_0)+f(x_2)-\frac{h^2}{6}{f}^{\prime \prime \prime }({\xi }_2)] \\ {D}_1(h)=\frac{4}{3}D(\frac{h}{2})-\frac{1}{3}D(h) \end{gathered}$$

10.一阶常微分方程数值解法梯形公式

单步隐式公式
$$\{\begin{array}{l}{y}_{i+1}=y_i+h\varphi (x_i,y_i,y_{i+1},h)\\ y_0=\eta \end{array}$$

$$\begin{gathered} \varphi (x,y,\overline{y},h)=\frac{1}{2}[f(x,y)+f(x+h,\tilde{y})] \\ {y}_{i+1}=y_i+\frac{h}{2}[f(x_i,y_i)+f(x_{i+1},y_{i+1})] \\ {y}^{\prime }=f(x,y),y(a)=\eta \end{gathered}$$

例如
$$\begin{gathered} y^{\prime }=-2xy(0\le x\le 1.8),y(0)=1,h=0.1 \\ {y}_{i+1}=y_i+\frac{h}{2}[f(x_i,y_i)+f(x_{i+1},y_{i+1})] \\ {y}_{i+1}=y_i-h{x}_i{y}_i-h{x}_{i+1}{y}_{i+1}, \\ 其中y_{i+1}=\frac{y_i-h{x}_i{y}_i}{1+h{x}_{i+1}} \end{gathered}$$

x_i	y_i
0	1
0.1	0.9901
0.2	0.96098
0.3	0.9143
0.4	0.8527