一维前缀和二维前缀和讲解

前缀和是一种用于快速计算数组中子数组和的技巧，它的核心思想是通过预先计算一个数组的前缀和数组，使得后续的区间和查询可以在常数时间内完成

#include 
#define MAX_SIZE 100

// 1. 基本前缀和
void basicPrefixSum() {
    int arr[] = { 1, 2, 3, 4, 5 };
    int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
    int prefix[MAX_SIZE] = { 0 };

    // 计算前缀和
    prefix[0] = arr[0];
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        prefix[i] = prefix[i - 1] + arr[i];
    }

    // 打印原数组
    printf("原始数组：");
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        printf("%d ", arr[i]);
    }
    printf("\n");

    // 打印前缀和数组
    printf("前缀和数组：");
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        printf("%d ", prefix[i]);
    }
    printf("\n");

    // 区间和查询示例
    int left = 1, right = 3;
    printf("区间[%d,%d]的和为：%d\n", left, right,
        prefix[right] - (left > 0 ? prefix[left - 1] : 0));
}

// 2. 二维前缀和
void matrix2DPrefixSum() {
    int matrix[4][4] = {
        {1, 2, 3, 4},
        {5, 6, 7, 8},
        {9, 10, 11, 12},
        {13, 14, 15, 16}
    };
    int n = 4, m = 4;
    int prefix[4][4] = { 0 };

    // 计算二维前缀和
    prefix[0][0] = matrix[0][0];

    // 处理第一行
    for (int j = 1; j < m; j++) {
        prefix[0][j] = prefix[0][j - 1] + matrix[0][j];
    }

    // 处理第一列
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        prefix[i][0] = prefix[i - 1][0] + matrix[i][0];
    }

    // 处理其余部分
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        for (int j = 1; j < m; j++) {
            prefix[i][j] = prefix[i - 1][j] + prefix[i][j - 1] -
                prefix[i - 1][j - 1] + matrix[i][j];
        }
    }

    // 打印原矩阵
    printf("\n原始矩阵：\n");
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < m; j++) {
            printf("%3d ", matrix[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }

    // 打印前缀和矩阵
    printf("\n前缀和矩阵：\n");
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < m; j++) {
            printf("%3d ", prefix[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }

    // 计算子矩阵和的示例 (2,2)到(3,3)的子矩阵
    int x1 = 1, y1 = 1, x2 = 2, y2 = 2;
    int subMatrixSum = prefix[x2][y2];
    if (x1 > 0) subMatrixSum -= prefix[x1 - 1][y2];
    if (y1 > 0) subMatrixSum -= prefix[x2][y1 - 1];
    if (x1 > 0 && y1 > 0) subMatrixSum += prefix[x1 - 1][y1 - 1];

    printf("\n子矩阵(%d,%d)到(%d,%d)的和为：%d\n",
        x1, y1, x2, y2, subMatrixSum);
}

// 3. 差分数组（前缀和的逆运算）
void differenceArray() {
    int arr[] = { 1, 2, 3, 4, 5 };
    int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);
    int diff[MAX_SIZE] = { 0 };

    // 构建差分数组
    diff[0] = arr[0];
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        diff[i] = arr[i] - arr[i - 1];
    }

    // 打印原数组
    printf("\n原始数组：");
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        printf("%d ", arr[i]);
    }
    printf("\n");

    // 打印差分数组
    printf("差分数组：");
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        printf("%d ", diff[i]);
    }
    printf("\n");

    // 区间增加操作示例
    int left = 1, right = 3, val = 2;
    diff[left] += val;
    if (right + 1 < n) diff[right + 1] -= val;

    // 还原数组
    int result[MAX_SIZE] = { 0 };
    result[0] = diff[0];
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        result[i] = result[i - 1] + diff[i];
    }

    printf("区间[%d,%d]增加%d后的数组：", left, right, val);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        printf("%d ", result[i]);
    }
    printf("\n");
}

int main() {
    printf("1. 一维前缀和示例：\n");
    basicPrefixSum();

    printf("\n2. 二维前缀和示例：");
    matrix2DPrefixSum();

    printf("\n3. 差分数组示例：");
    differenceArray();

    return 0;
}

运行结果：