公钥算法的基本数论知识——欧几里得算法、扩展的欧几里得算法、 欧拉函数、费马小定理、欧拉定理

公钥算法的基本数论知识

包含内容

欧几里得算法、扩展的欧几里得算法、

欧拉函数、费马小定理、欧拉定理
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一、欧几里得算法（Euclidean Algorithm）

1、简介

欧几里德算法又称辗转相除法，是指用于计算两个正整数 a，b 的最大公约数。应用领域有数学和计算机两个方面。

计算公式 (,)=(,)

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二、例子

0=973 ， 1=301，计算它们的最大公约数

三、代码实现

Python实现：

# 欧几里得算法
def gcd(a, b):
    if b == 0:
        return a
    else:
        return gcd(b, a % b)


r0 = int(input("请输入第一个正整数："))
r1 = int(input("请输入第二个正整数："))
print("最大公约数是：", gcd(r0, r1))

C语言实现：

#include 
int gcd(int a,int b)
{
   
    if (b==0) {
   
        return a;
    }
    else{
   
        return gcd(b, a%b);
    }
}

int main()
{
   
    int r0,r1;
    int result;
    printf("请输入两个正整数：\n");
    scanf("%d%d",&r0,&r1);
    result = gcd(r0, r1);
    printf("%d\n",result);
    

}

二、扩展的欧几里得算法（Extended Euclidean algorithm）

1、简介

扩展的欧几里得算法是欧几里得算法的一个扩展。

通过扩展的欧几里得算法，我们不仅可以求出 和 的最大公约数，还可用找到整数 和 ,使得 (,)=+

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2、原理

有两个数 ,，对它们进行辗转相除法，可得它们的最大公约数。

此时欧几里得算法已经递归到了终点，(,)中的 此时为 0。

也就是 ∗1+∗0=

此时的 =1,=0

那么我们可以反推上去，求得要解的 和

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3、代码实现

Python实现：

def ext_gcd(a, b):

    if b == 0:
        x1 = 1
        y1 = 0
        x = x1
        y = y1
        r = a
        return r, x, y
    else:
        r, x1, y1 = ext_gcd(b, a % b)
        x = y1
        y = x1 - a // b * y1
        return r, x, y


print("请输入两个正整数，且第一个数大于第二个数"