增广矩阵and线性方程组----线性代数

齐次线性方程组：

$$\begin{gathered} (1)只有零解：\iff 系数行列式D\ne 0 \\ 克莱姆法则：D\ne 0\Rightarrow 只有零解 \\ 极大线性无关向量组： \\ n个n维向量相关\iff 矩阵的行列式=0（并且同时交换一个向量组多个相同位置的分量不改变相关性） \end{gathered}$$
$$有非零解\iff R(A)<n,基础解系的个数为n-R(A)$$

非齐次线性方程组：

$$\begin{gathered} (1)有解：\iff R(A)=R(\bar{A}(增广矩阵)) \\ 唯一解\iff R(A)=R(\bar{A})=n \\ 无穷多解R(A)=R(\bar{A})<n \end{gathered}$$

用增广矩阵解方程组：

化简：
$$\left(\begin{array}{llcccc}1& 0& a& b& |& e\\ 0& 1& c& d& |& f\\ 0& 0& 0& 0& |& 0\end{array}\right)$$
$$\begin{gathered} 则： \\ {x}_1+a{x}_3+b{x}_4=e \\ {x}_2+c{x}_3+d{x}_4=f \end{gathered}$$

则特解为
$$\begin{gathered} \eta =\left(\begin{array}{l}e\\ f\\ 0\\ 0\end{array}\right) \\ 一般令自由变量为1 \\ {\xi }_1=\left(\begin{array}{l}a\\ c\\ 1\\ 0\end{array}\right){\xi }_2=\left(\begin{array}{l}b\\ d\\ 0\\ 1\end{array}\right) \end{gathered}$$
则原方程的解为：
$$x=\eta +k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2,(k_1,k_2为任意常数)$$

在矩阵的初等变换求逆中也用到了“增广的形式”

$$\left(\begin{array}{llc}A& |& E\end{array}\right)\stackrel{行变换}{⟶}\left(\begin{array}{llc}E& |& A^{-1}\end{array}\right)$$
$$\left(\begin{array}{l}A\\ -\\ E\end{array}\right)\stackrel{列变换}{⟶}\left(\begin{array}{l}E\\ -\\ A^{-1}\end{array}\right)$$