解密强化学习心脏：从动态规划到Q-Learning的价值函数进化史

目录

1. 价值函数：强化学习的罗盘
2. 求解价值函数的经典之路：动态规划
3. 从经验中学习：蒙特卡洛方法
4. 步步为营的智慧：时序差分学习
5. 终极武器？Q-Learning的崛起
6. 方法大比拼：DP vs MC vs TD vs Q-Learning
7. 实战演练：Q-Learning征服山地车
8. 总结与展望

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在人工智能的星辰大海中，强化学习（Reinforcement Learning, RL）无疑是最耀眼的新星之一。它赋予机器从与环境的互动中学习决策能力，如同婴儿蹒跚学步，不断试错，最终掌握最优行为。而在这学习过程的核心，跳动着一颗强大的“心脏”——价值函数。理解价值函数及其求解方法的演进，是从动态规划（DP）的严谨逻辑到Q-learning的灵活应变，就如同解开了强化学习的基因密码。

本文将带你踏上这段激动人心的进化之旅，深入剖析价值函数的本质，探索其求解方法的迭代升级，并通过代码实例和图示，让你直观感受这些算法的魅力与威力。准备好了吗？让我们一起潜入强化学习的深水区！

1. 价值函数：强化学习的罗盘

想象一下，你置身于一个巨大的迷宫，目标是找到出口并获得最多的宝藏。在每个岔路口，你该如何选择？强化学习中的智能体（Agent）也面临类似困境。价值函数就像一个罗盘，指引着智能体在特定“状态”（迷宫中的位置）下，采取何种“动作”（选择哪个方向）能够获得最大的长期“回报”（宝藏）。

智能体与环境交互的基本框架：

动作 Action

状态 State, 奖励 Reward

智能体 Agent

环境 Environment

这个简单的循环是RL的基础。智能体根据当前状态选择动作，环境反馈新的状态和即时奖励，智能体再根据这些信息调整策略。

状态价值函数 (State-Value Function)

状态价值函数 $V^{\pi }(s)$ 回答了这样一个问题：“从当前状态 $s$ 出发，遵循策略 $\pi$（一套决策规则），我最终能获得多少期望回报？”

数学上定义为：
$$V^{\pi }(s)={\mathbb{E}}_{\pi }\left[\sum _{t=0}^{\infty }{\gamma }^t{R}_{t+1}|S_0=s\right]$$

• $\gamma$ (gamma) 是折扣因子 (0 ≤ $\gamma$ ≤ 1)，表示我们更看重眼前的奖励还是未来的奖励。$\gamma$ 接近0意味着“短视”，接近1意味着“远见”。
• $R_{t+1}$ 是在时间步 $t$ 后获得的即时奖励。
• ${\mathbb{E}}_{\pi }$ 表示在策略 $\pi$ 下的期望值。

动作价值函数 (Action-Value Function)

动作价值函数 $Q^{\pi }(s,a)$ 则更具体：“在状态 $s$ 下，如果我选择执行动作 $a$，然后继续遵循策略 $\pi$，我能获得多少期望回报？”

数学上定义为：
$$Q^{\pi }(s,a)={\mathbb{E}}_{\pi }\left[\sum _{t=0}^{\infty }{\gamma }^t{R}_{t+1}|S_0=s,A_0=a\right]$$
$Q$ 值直接关联到具体动作，因此在决策时更为直接。

贝尔曼方程：递归的艺术

价值函数最迷人的特性在于其递归性，这一点通过贝尔曼方程得以体现。它将当前状态（或状态-动作对）的价值与其后续状态的价值联系起来。

状态价值函数的贝尔曼方程：
$$V^{\pi }(s)=\sum _a\pi (a|s)\sum _{s^{\prime },r}p(s^{\prime },r|s,a)[r+\gamma V^{\pi }(s^{\prime })]$$
这表示，当前状态的价值，是所有可能动作的期望价值之和。每个动作的价值，又是在该动作下，所有可能的下一状态 $s^{\prime }$ 和奖励 $r$ 发生的概率 $p(s^{\prime },r|s,a)$ 乘以（即时奖励 $r$ 加上折扣后的下一状态价值 $\gamma V^{\pi }(s^{\prime })$）的总和。

动作价值函数的贝尔曼方程：
$$Q^{\pi }(s,a)=\sum _{s^{\prime },r}p(s^{\prime },r|s,a)[r+\gamma \sum _{a^{\prime }}\pi (a^{\prime }|s^{\prime })Q^{\pi }(s^{\prime },a^{\prime })]$$
类似地，当前状态-动作对的价值，是在执行该动作后，所有可能的下一状态和奖励下，（即时奖励加上折扣后的下一状态-动作对的期望价值）的总和。

贝尔曼最优方程：
强化学习的终极目标是找到最优策略 ${\pi }^{\ast }$，使得价值函数最大化。对应的最优价值函数 $V^{\ast }(s)$ 和 $Q^{\ast }(s,a)$ 满足贝尔曼最优方程：
$$V^{\ast }(s)=$$