数据结构与算法学习笔记----贪心·Huffman树

数据结构与算法学习笔记----贪心·Huffman树

@@ author: 明月清了个风
@@ first publish time: 2025.4.4

ps⭐️Huffman树（哈夫曼树）是一种用于数据压缩的二叉树结构，通过贪心算法构建最优前缀编码，使得出现频率高的字符使用较短的编码，从而减少整体数据存储空间，一道构造Huff满树的模版题

Acwing 148. 合并果子

[原题链接](148. 合并果子 - AcWing题库)

在一个果园里，达达已经将所有的果子打了下来，而且按果子的不同种类分成了不同的堆。

达达决定把所有的果子合成一堆。

每一次合并，达达可以把两堆果子合并到一起，消耗的体力等于两堆果子的重量之和。

可以看出，所有的果子经过$n-1$次合并之后，就只剩下一堆了。

达达在合并果子时总共消耗的体力等于每次合并所耗体力之和。

因为还要花大力气把这些果子搬回家，所以达达在合并果子时要尽可能地节省体力。

假定每个果子重量都为$1$，并且已知果子的种类数和每种果子的数目，你的任务是设计出合并的次序方案，使达达耗费的体力最少，并输出这个最小的体力耗费值。

例如有$3$种果子，数目依次为$1,2,9$

可以先将$1,2$堆合并，新堆数目为$3$，耗费体力为$3$。

接着，将新堆与原先的第三堆合并，又得到新的堆，数目为$12$，耗费体力为$12$。

所以达达总共耗费体力$=3+12=15$。

可以证明$15$为最小的体力消耗值。

输入格式

输入包括两行，第一行是一个整数$n$，表示果子的种类数。

第二行包含$n$个整数，用空格分割，第$i$个整数$a_i$是第$i$种果子的数目。

输出格式

输出包括一行，这一行只包含一个整数，也就是最小的体力耗费值。

输入数据保证这个值小于$2^{31}$。

数据范围

$1\le n\le 10000$，

$1\le a_i\le 20000$

思路

这一题就是huffman树的应用，huffman树用来求最小带权路径和，对于一堆数据来说，每次选择最小的两个进行合并，并将合并后的节点作为父节点再次加入数据进行合并，因此原始数据的每个点都是叶子结点，也就是没有儿子的，根据这样的算法构造的树可以对每个叶子结点有唯一的编码方式，比如左节点是0，右节点是1，最后到叶子结点的路径都是唯一的，且每条路径中都只有终点的叶子结点是需要编码的原始数据，为前缀编码，保证了每个数据的编码不是另一个数据的前缀，确保了解码的唯一性；这样构造的树为严格二叉树，每个内部节点都必有两个子节点，总结点数为$2n-1$。

构造Huffman树的方法很简单，每次都挑选数据中最小的两个进行合并就行了，可以用小根堆实现。

代码

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N = 10010;

int n;

int main()
{
    cin >> n;
    
    priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> heap;
    
    while(n --)
    {
        int x;
        cin >> x;
        heap.push(x);
    }
    
    int res = 0;
    
    while(heap.size() > 1)
    {
        int a = heap.top(); heap.pop();
        int b = heap.top(); heap.pop();
        
        int x = a + b;
        res += x;
        heap.push(x);
    }
    
    cout << res << endl;
    
    return 0;
}