第十四届蓝桥杯大赛软件赛省赛Python-研究生组-D.互质数的个数

问题描述

给定 a，b，求 1≤x<$a^b$ 中有多少个 x 与 ab 互质。由于答案可能很大，你只需要输出答案对 998244353 取模的结果。

输入格式
输入一行包含两个整数分别表示 a，b，用一个空格分隔。

输出格式
输出一行包含一个整数表示答案。

样例输入 1
2 5
样例输出 1
16

样例输入 2
12 7
样例输出 2
11943936

评测用例规模与约定

对于 30% 的评测用例，ab≤$10^6$；

对于 70% 的评测用例，a≤$10^6$，b≤$10^9$；

对于所有评测用例，1$10^9$，1≤b≤$10^{18}$。

---

题解

暴力求解思路不可取。
面对求互质问题，可采用欧拉函数进行求解。欧拉函数的形式为$\phi (a)$，表示小于等于n且与n互质的正整数的个数。
题目中要求区间[1, $a^b$)中与 $a^b$互质的整数的个数，即求解$\phi (a^b)$。
因此，当$a^b$=1时，答案为0（$\phi (1)$=1）；其他情况下答案为$\phi (a^b)$。

对于$\phi (a^b)$的求解：
考虑到与质数相关，想到算术基本定理，将$a^b$分解为质数连乘的形式： a b = ( p 1 α 1 p 2 α 2 … p m α m ) b = ∏ i = 1 m p b ⋅ α i {a^b} = {(p_1^{ {\alpha _1}}p_2^{ {\alpha _2}} \ldots p_m^{ {\alpha _m}})^b} = \prod\limits_{i = 1}^m { {p^{b \cdot {\alpha _i}}}} a