基本算法—a.算法复杂度（Algorithmic Complexity）

算法复杂度（Algorithmic Complexity）是计算机科学中一个非常重要的概念，用于描述一个算法在执行时所需要的资源量，通常是时间和空间。算法复杂度主要分为两类：

1. 时间复杂度：表示算法执行所需的时间，通常随着输入规模的增加而变化。时间复杂度是评估算法效率的一个重要标准。
2. 空间复杂度：表示算法执行所需的内存空间，同样随着输入规模的增加而变化。

1. 时间复杂度

时间复杂度表示算法运行所需的时间与输入数据规模之间的关系。
常见的时间复杂度表示法是通过“大O表示法”（Big-O notation）来描述的。以下是一些常见的时间复杂度及其含义：

• O(1)：常数时间复杂度，表示无论输入规模多大，算法的执行时间都是固定的。
  • 例子：访问数组中的一个元素 arr[i]。
• O(log n)：对数时间复杂度，表示随着输入规模的增加，算法执行时间增长的速度是对数型的，增长速度较慢。
  • 例子：二分查找。
• O(n)：线性时间复杂度，表示算法的执行时间与输入规模成正比，随着输入的增大，执行时间也线性增长。
  • 例子：遍历一个数组。
• O(n log n)：线性对数时间复杂度，常见于一些高效的排序算法，如快速排序、归并排序等。
  • 例子：快速排序、归并排序。
• O(n^2)：平方时间复杂度，表示算法的执行时间与输入规模的平方成正比。通常出现在一些简单的排序算法中。
  • 例子：冒泡排序、选择排序。
• O(2^n)：指数时间复杂度，表示随着输入规模的增加，执行时间呈指数级增长，效率非常低。
  • 例子：某些递归算法，如斐波那契数列的递归计算。
• O(n!)：阶乘时间复杂度，表示算法的执行时间随输入规模增长呈阶乘增长，通常是最慢的复杂度。
  • 例子：旅行商问题的暴力算法。

2. 空间复杂度

空间复杂度描述了算法在执行过程中所需要的额外内存空间量。常见的空间复杂度表示方法也是通过“大O表示法”来描述的。空间复杂度关注的是算法使用的辅助空间，比如递归栈、临时变量等。

• O(1)：常数空间复杂度，表示算法使用的空间是固定的，与输入数据规模无关。
  • 例子：交换两个变量的值。
• O(n)：线性空间复杂度，表示算法使用的空间与输入数据规模成正比。
  • 例子：存储一个大小为 n 的数组。

3. 如何计算时间复杂度和空间复杂度

• 时间复杂度的计算通常是根据算法中的基本操作（例如循环、递归调用等）的执行次数来确定的。例如，一个 for 循环遍历 n 个元素时，其时间复杂度是 O(n)。
• 空间复杂度的计算主要是通过分析算法所需的额外空间来进行的。对于递归算法，空间复杂度还与递归深度有关。一般来说，空间复杂度计算的是算法在运行过程中所需的临时数据存储空间。

4. 常见的复杂度关系

• O(1) < O(log n) < O(n) < O(n log n) < O(n²) < O(2ⁿ) < O(n!)
  • 这是一个典型的从低到高的复杂度顺序。大致来说，较低的时间复杂度意味着算法执行更快，较低的空间复杂度意味着算法所需的内存较少。

n	O(log n)	O(n)	O(n log n)	O(n2)	O(2n)	O(n!)
n≤11	√	√	√	√	√	√
n≤25	√	√	√	√	√	×
n≤5000	√	√	√	√	×	×
n≤1e6	√	√	√	×	×	×
n≤1e7	√	√	×	×	×	×
n>1e8	√	×	×	×	×	×

5. 优化算法

在实际应用中，我们经常会优化算法的复杂度，以提高程序的效率。通过选择更高效的算法（比如选择 O(n log n) 的排序算法而不是 O(n^2) 的排序算法），可以大大提高程序处理大规模数据时的性能。