算法入门——二分法

二分法真的很容易出错！！！在用dp学习之后总结了一下二分法

二分查找关键总结

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一、核心思想

• 分治策略：每次将搜索范围缩小一半，适用于有序数组。

• 时间复杂度：O(log n)，比线性查找高效得多。

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二、关键点

1. 前提条件

   • 有序性：数组必须有序（升序或降序），否则需先排序（但排序成本 O(n log n)）。

   • 静态性：适合静态数据或低频更新的数据（高频更新建议用哈希表或树结构）。

2. 两种边界问题

   • 左边界：第一个等于目标的位置（或第一个大于等于目标的位置）。

   • 右边界：最后一个等于目标的位置（或最后一个小于等于目标的位置）。

3. 循环终止条件

   • 通常用 while (left < right)，退出时 left == right 即为答案。

   • 最终需验证 a[left] 是否等于目标值（处理不存在的情况）。

4. 中间值计算

   • 标准写法：mid = left + (right - left) / 2（防溢出）。

   • 右边界特例：mid = left + (right - left + 1) / 2（避免死循环）。

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三、难点

1. 边界条件处理

   • 左边界场景：

     • mid 不 +1，区间收缩方向为 right = mid。

     • 例如：找第一个 >=x 的位置。

   • 右边界场景：

     • mid 必须 +1，区间收缩方向为 left = mid。

     • 例如：找最后一个 <=x 的位置。

2. 死循环的根源

   • 当只剩两个元素时，整数除法的向下取整特性可能导致区间无法缩小。

   • 解决方案：右边界场景需对 mid 计算 +1。

3. 重复元素的处理

   • 需要分别找到左边界和右边界（如 LeetCode 34 题）。

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四、易错点

1. 直接比较索引与值

   • 错误写法：if (mid == x)（应比较 a[mid] 和 x）。

2. 未验证结果有效性

   • 循环结束后未检查 a[left] 是否等于目标值，导致错误返回。

3. 混淆排序与查找

   • 二分查找本身不排序，若数组无序需先排序（但可能不符合实际需求）。

4. 错误的条件分支

   • 例如：左边界查找中误用 left = mid + 1 导致跳过目标。

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五、模板代码对比

场景	左边界查找	右边界查找
mid计算	mid = left + (right-left)/2	mid = left + (right-left+1)/2
区间更新	right = mid	left = mid
终止条件	while (left < right)	while (left < right)

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六、经典应用场景

1. 精确查找：有序数组中找目标值。

2. 近似查找：求平方根、寻找插入位置（LeetCode 35）。

3. 边界问题：第一个/最后一个等于目标的位置（LeetCode 34）。

4. 旋转数组：搜索旋转排序数组（LeetCode 33）。

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七、调试技巧

1. 打印中间变量：在循环中输出 left, right, mid 的值。

2. 小数据测试：手动模拟只剩 2 个元素的场景。

3. 极端用例：全相同元素、目标值不存在、目标值在首尾位置。

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八、总结口诀

1. 左边界不 +1，右边界必 +1

2. 循环条件 < 号，退出记得判有效

3. 先左后右分开查，重复元素也不怕