蓝桥杯Python赛道备赛——Day6：算术（二）（数学问题）

   本期博客是蓝桥杯备赛中算术（数学问题）的第二期，包括：快速幂算法、逆元（模意义下的倒数）、组合数计算和排列数计算。

   每一种数学问题都在给出定义的同时，给出了其求解方法的示例代码，以供低年级师弟师妹们学习和练习。

   前序知识：
（1）Python基础语法

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一、快速幂算法

1. 定义：
   快速计算大指数幂的算法。

2. 算法原理：

• 二进制分解指数；
• 利用幂的平方性质：$$a^b=(a^2{)}^{\frac{b}{2}}$$
• 本质就是将次方分解为$1$次幂和偶数次幂，随后再将偶数次幂分解为若干$2$次幂。

3. 优缺点：

• 优点：时间复杂度$O(\log n)$，效率高。

4. 用途：
   大数模运算。

5. 示例代码：

# 快速幂算法
def fast_power(base, power):
    result = 1
    while power > 0:
        # 当指数为奇数时，乘一次基数
        if power % 2 == 1:
            result *= base
        # 基数平方
        base *= base
        # 指数折半（整数除法）
        power = power // 2
    return result

print(fast_power(3, 13))  # 输出：1594323

# 在竞赛中，可以使用python内置的快速幂函数pow
print(pow(3, 13))  # 输出：1594323

二、逆元（模意义下的倒数）

1. 定义：
   $a^{\text{MOD}-2}\mathrm{mod}\text{MOD}$ 就是 $a$ 对 $MOD$ 的逆元。

2. 算法原理——费马小定理：

• 当$p$是质数时： $$a^{p-2}\equiv a^{-1}(\text{mod}p)$$
• 举个例子：
  $\text{设 }p=7(\text{质数}),a=3$
  $\text{直接计算逆元：}3\cdot x\equiv 1(\text{mod}7)\Rightarrow x=5(\text{因为}3\cdot 5=15\equiv 1(\text{mod}7))$
  $\text{按公式计算：}{3}^{7-2}=3^5=243\Rightarrow x=243\mathrm{mod}7=5$

3. 优缺点：

• 优点：计算快速；
• 缺点：仅适用于模数为质数。

4. 用途：
   组合数模运算。

5. 示例代码：

# 逆元
MOD = 10**9+7  # 常用质数模数

def mod_inverse(a, mode):
    # 使用Python内置快速幂函数
    return pow(a, MOD-2, MOD)

print(mod_inverse(7, MOD))  # 输出：142857144（因为7*142857144 ≡1 mod 1e9+7）

三、组合数计算

1. 定义：
   从n个元素中选k个的组合方式数。

2. 算法原理：
$$C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k)$$
$$C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$

3. 优缺点：

• 优点：避免阶乘计算的溢出风险；
• 缺点：对大数需要模运算。

4. 用途：
   概率统计、排列组合问题。

5. 示例代码：

# 组合数计算
def combination(n, k):
    if k < 0 or k > n:
        return 0
    # 利用组合数的对称性减少计算量
    k = min(k, n - k)
    result = 1
    # 计算公式的乘积形式
    for i in range(1, k+1):
        # 分子：n - k + i
        # 分母：i
        result = result * (n - k + i) // i  # 注意整除顺序
    return result

print(combination(10, 3))  # 输出：120

# 在竞赛中，可以使用Python内置的组合数函数comb
from math import comb

print(comb(10, 3))  # 输出：120

四、排列数计算

1. 定义：
   从n个不同元素中取出k个元素进行排列的不同方式数。

2. 算法原理：
$$P(n,k)=n\times (n-1)\times \cdots \times (n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}$$

• 直接连乘法：从n开始连续乘k个数；
• 处理特殊情况：k=0时结果为1，k>n时为0。

3. 优缺点：

• 优点：时间复杂度O(k)，避免计算完整阶乘；
• 缺点：k较大时仍存在计算压力。

4. 用途：
   排列组合、概率计算、排序问题。

5. 示例代码：

# 排列数计算
def permutation(n, k):
    # 处理非法输入情况
    if k < 0:
        return 0
    if k == 0:
        return 1  # 空排列视为一种情况
    if k > n:
        return 0
    
    result = 1
    # 从n开始连乘k次（即n*(n-1)*...*(n-k+1)）
    for i in range(n, n - k, -1):
        result *= i
    return result

# 验证示例
print(permutation(5, 2))  # 输出：20（5*4）

# 在竞赛中，可以使用Python内置的排列数函数permutations
from itertools import permutations

print(len(list(permutations('abcde', 2))))  # 输出：6（'ab', 'ac', 'ba', 'bc', 'ca', 'cb'）