用物理信息神经网络（PINN）解决实际优化问题：全面解析与实践

摘要

本文系统介绍了物理信息神经网络（PINN）在解决实际优化问题中的创新应用。通过将物理定律与神经网络深度融合，PINN在摆的倒立控制、最短时间路径规划及航天器借力飞行轨道设计等复杂任务中展现出显著优势。实验表明，PINN相比传统数值方法及强化学习（RL）/遗传算法（GA），在收敛速度、解的稳定性及物理保真度上均实现突破性提升。

关键词：物理信息神经网络；优化任务；深度学习；强化学习；航天器轨道

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一、引言：优化任务的现实挑战

在芯片设计、航天器轨迹规划、核聚变反应堆控制等前沿工程领域，优化任务始终是技术突破的核心瓶颈。传统数值方法（如梯度下降、遗传算法）面临计算成本高、扩展性差等问题，而深度强化学习（RL）虽在博弈领域大放异彩，但在连续控制、长期规划场景中存在探索效率低、解不稳定等缺陷。

物理信息神经网络（PINN） 通过将物理定律嵌入神经网络训练，实现了从数据驱动到物理约束的范式转变。其独特优势在于：

1. 无需大规模数据：仅需少量边界条件即可建模复杂系统
2. 全局最优搜索：通过数学目标函数直接优化轨迹
3. 物理一致性保证：确保解严格满足控制方程

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二、PINN核心原理：物理约束与神经网络的完美融合

利用物理信息损失解决优化任务的神经网络架构。
（a）作为神经网络输入的域变量（例如时间或位置）。
（b）待优化的目标函数（(\theta)），由多层感知机组成。
（c）作为神经网络输出的设计变量。
（d）损失函数（物理损失、约束损失和目标损失），这些损失函数经过加权求和得到最终的目标函数。

2.1 三要素驱动的优化框架

PINN将优化任务解构为三个核心要素：

• 控制方程：如牛顿运动定律、能量守恒方程
• 约束条件：初始/边界条件、操作限制（如燃料约束）
• 目标函数：最短时间、最小推力等优化目标

通过将这些要素转化为神经网络的损失函数，PINN实现了对系统行为的精确建模：
$${\theta }^{\ast }=\underset{\theta }{\mathrm{argmin}}\left\{w_{\text{phys}}{L}_{\text{phys}}+w_{\text{con}}{L}_{\text{con}}+w_{\text{goal}}{L}_{\text{goal}}\right\}$$
其中：

• 物理损失 $L_{\text{phys}}$ 确保解满足控制方程：
  $$L_{\text{phys}}(\theta )=\frac{1}{N_{\Omega }}\sum _{j=1}^{N_{\Omega }}{\Vert \mathcal{F}(t_j;\theta )\Vert }_2^2$$
• 约束损失 $L_{\text{con}}$ 处理边界条件（Dirichlet/Neumann）：
  L con ( θ ) = { 1 N ∂ Ω ∑ j = 1 N ∂ Ω ∥ u ^ ( t j ; θ ) − B C ∥ 2 2 (Dirichlet) 1 N ∂ Ω ∑ j = 1 N ∂ Ω ∥ d u ^ d t ( t j ; θ ) − B C ∥ 2 2 (Neumann) L_{\text{con}}(\theta) = \begin{cases} \frac{1}{N_{\partial \Omega}} \sum_{j=1}^{N_{\partial \Omega}} \| \hat{u}(t_j; \theta) - BC \|_2^2 & \text{(Dirichlet)} \\ \frac{1}{N_{\partial \Omega}} \sum_{j=1}^{N_{\partial \Omega}} \left\| \frac{d\hat{u}}{dt}(t_j; \theta) - BC \right\|_2^2 & \text{(Neumann)} \end{cases} Lcon​(θ)={N∂Ω​1​∑j=1N∂Ω​​∥u^(tj​;θ)−BC∥22​N∂Ω​1​∑j=1N∂Ω​​ ​dtdu^​(tj​;θ)−BC ​22​​(Dirichlet)(Neumann)​
• 目标损失 $L_{\text{goal}}$ 驱动优化方向（如最短时间、最小推力）

2.2 架构创新：非时序优化与全局搜索

传统RL/GA依赖时序探索（自底向上），而PINN通过单次前向传播直接输出全局最优解。其神经网络架构将时间/空间作为输入，输出轨迹/控制变量，结合自动微分技术，高效求解复杂微分方程约束下的优化问题。

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三、PINN实战案例：从摆控到星际航行

3.1 案例1：低扭矩摆的倒立控制

挑战：传统PID控制在扭矩受限（$|\tau |\le 1.5\text{Nm}$）时无法使摆倒立，而RL/GA需百万次迭代且轨迹波动大。

PINN解法：

• 目标损失：$L_{\text{goal}}=(\cos \varphi (t=10s)+1{)}^2$
• 网络输入：时间 $t$
• 网络输出：角度 $\varphi$ 与扭矩 $\tau$

结果：

• 仅需9804次迭代即收敛（RL需10万次）- 仅需9804次迭代即收敛（RL需10万次）
• 扭矩轨迹平滑，能量积累效率提升300%（图2）- 扭矩轨迹平滑，能量积累效率提升300%（图2）
  
  物理信息神经网络（PINN）在摆锤上摆扭矩方案优化中的应用。
  （a）固定轴摆的描述，其中设计变量是角度 $\varphi$ 和扭矩 $\tau$，它们均为时间 $t$ 的函数。
  （b）此优化任务的目标状态，即在 $t=10\text{ s}$ 时，$\cos \varphi =-1$。
  （c）迭代过程中损失值的变化历程。
  （d）将运动方程纳入目标函数的神经网络示意图。其输入为 $t$，输出为 $\varphi$ 和 $\tau$。
  （e）遗传算法（GA）的基线结果。
  （f）使用TD3算法的强化学习（RL）基线结果。遗传算法和强化学习都会产生波动的扭矩方案。
  （g）PINN的结果，该方法确定通过让摆锤来回摆动来积累能量以达到目标。
  （h）摆锤上摆过程的几张快照。

3.2 案例2：最短时间路径规划

验证场景：

1. 费马原理：光在变折射率介质中的最短路径
2. 最速降线：重力场中两点间的最短下降路径

PINN创新：

• 将时间 $T$ 设为可训练变量
• 引入能量守恒约束（最速降线场景）

实验数据：

方法	费马原理耗时(s)	最速降线耗时(s)
PINN	45±29	36±11
RL	887±7	923±8

在这两幅图中，解析解用黄色虚线表示，PINN得到的收敛解用蓝色表示。作为基线对比，使用强化学习（RL）并经过 $10^5$ 次迭代得到的结果用品红色线表示。

3.3 案例3：航天器借力飞行轨道

技术突破：

• 将推力最小化目标融入运动方程
• 利用天体引力场实现零燃料轨道

关键公式：
$$\mathcal{F}=\frac{1}{T^2}\frac{d^{2}x}{d{t}_N^2}+\sum \frac{G{M}_o(x-x_o)}{((x-x_o{)}^2+(y-y_o{)}^2{)}^{1.5}}$$

实验结果：

• PINN推力需求仅为RL的1/10（图4）
• 轨迹对引力场变化鲁棒性提升400%
  
  强化学习（RL）和物理信息神经网络（PINN）在寻找航天器最小附加推力借力飞行轨迹中的应用。
  （a）包含三个天体的系统描述，以及经过 $10^5$ 次迭代后，强化学习得到的航天器借力飞行收敛解轨迹。灰色箭头和黄色箭头分别表示引力的 $\frac{1}{5}$ 和推力。
  （b）每个天体施加的引力大小、总引力、推力，以及强化学习确定的轨迹所需的跟随力。
  （c）经过3215次迭代后，物理信息神经网络得到的航天器借力飞行收敛解轨迹。
  （d）每个天体施加的引力大小、总引力、推力，以及物理信息神经网络确定的轨迹所需的跟随力。

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四、性能对比：PINN vs RL/GA

物理信息神经网络（PINN）、强化学习（RL）和遗传算法（GA）中五个集成模型之间的差异。
（a）学习曲线的变化情况。对于RL和GA的曲线，平滑后的曲线用实线表示，而原始曲线用透明颜色表示。
（b）训练后在没有探索噪声情况下的推理结果变化。目标状态（$\cos \phi =-1$）也用红色虚线表示。

通过多项实验，对比了PINN与RL、GA在不同优化任务中的表现，具体结果如下表所示：

任务	PINN	RL	GA
摆的倒立控制	(44±16)	(892±10)	(4015±34)
费马原理	(45±29)	(887±7)	-
最速降线	(36±11)	(923±8)	-
航天器的借力飞行	(62±17)	(906±12)	-

从表中可以看出，在各个任务中，PINN的运行时间都明显短于RL和GA，体现了其在优化任务中的高效性。

关键结论：

1. PINN运行时间仅为RL的5-7%，GA的1-2%
2. 解的物理保真度提升2-3个数量级（$L_{\text{phys}}<10^{-5}$）
3. 无需探索噪声，轨迹稳定性提升5倍以上

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五、PINN的优势与局限

5.1 核心优势

• 逆问题求解：直接优化目标函数，无需时序探索
• 物理一致性：严格满足控制方程，避免数值漂移
• 高效性：单卡RTX 3080 Ti即可完成复杂任务

5.2 当前局限

• 依赖控制方程：在未知物理规律的场景（如生物系统）应用受限
• 超参数敏感：损失权重需根据任务精细调整

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六、未来展望：拓展PINN的应用边界

1. 代理模型融合：结合数据驱动的代理模型处理未知控制方程
2. 实时优化：探索PINN在自动驾驶、机器人控制中的在线应用
3. 多目标优化：开发支持复杂约束的多任务学习框架

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七、总结

PINN通过物理定律与神经网络的深度融合，为实际优化问题提供了兼具效率与精度的解决方案。从经典控制到星际航行，其展现的潜力预示着工程优化领域的范式变革。随着深度学习与物理建模的进一步结合，PINN有望成为解决复杂系统优化的通用工具。PINN通过物理定律与神经网络的深度融合，为实际优化问题提供了兼具效率与精度的解决方案。从经典控制到星际航行，其展现的潜力预示着工程优化领域的范式变革。随着深度学习与物理建模的进一步结合，PINN有望成为解决复杂系统优化的通用工具。

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参考文献：https://www.nature.com/articles/s41598-023-49977-3
参考代码：https://github.com/jaem-seo/pinn-optimization
数据来源：Nature Scientific Reports (2024) 14:202