数字信号处理之 快速傅里叶变换（FFT）

快速傅里叶变换（FFT）

快速傅里叶变换（FFT）并不是与DFT不同的另一种变换，而是为了减少计算次数的一种快速有效的算法。

本章主要研究若干中计算离散傅里叶变换的算法：

• 按时间抽取的FFT算法
• 按频率抽取的FFT算法
• N为复合数的FFT算法
• 分裂基FFT算法
• 线性调频z变换算法
• ZFFT算法

着重讨论算法原理，并提供了实现算法的详细细节。

一、直接计算DFT的问题和改善DFT运算效率的基本途径

直接计算DFT的问题

有限列长为N的序列$x(n)$的DFT对为$$X(k)=\sum _{n=0}^{N-1}x(n)W_N^{nk}k=0,1,...,N-1$$$$x(n)=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}X(k)W_N^{-nk}n=0,1,...,N-1$$完成全部DFT的总计算量为$N^2$次复数相乘及$N(N-1)$次复数相加。

DFT实际计算方式为$$X(k)=\sum _{n=0}^{N-1}\{[\mathbf{Re}x(n)\mathbf{Re}{W}_N^{nk}-\mathbf{Im}x(n)\mathbf{Im}{W}_N^{kn}]+$$$$j[\mathbf{Re}x(n)\mathbf{Im}{W}_N^{kn}+\mathbf{Im}x(n)\mathbf{Re}{W}_{N}kn]\}$$运算复杂度为$4N^2$。

改善DFT运算效率的基本途径

$W_N^{kn}$的固有特性：

1. $W_N^{kn}$的对称性$$W_N^{k(N-n)}=W_N^{-kn}=(W_N^{kn}{)}^{\ast }.$$
2. $W_N^{kn}$的周期性$$W_N^{kn}=W_N^{k(n+N)}=W_N^{(k+N)n}.$$

二、按时间抽取（DIT）的FFT算法（库利-图基算法）

算法原理

方便讨论，设$N=2^{\nu }$，这种$N$为2的整数幂的FFT，也称基-2FFT。定义$$X(k)=\sum _{n=0}^{N-1}x(n)W_N^{nk}k=0,1,...,N-1$$分成奇偶子序列$$\{\begin{array}{l}x(2r)=x_1(r)\\ x(2r+1)=x_2(r)\end{array}r=0,1,...\frac{N}{2}-1$$记$X_1(k)$和$X_2(k)$分别是$x_1(r)$和$x_2(r)$的$N/2$点DFT$$\begin{gathered} X_1(k)=\sum _{r=0}^{N/2-1}{x}_1(r)W_{N/2}^{rk}=\sum _{r=0}^{N/2-1}x(2r)W_{N/2}^{rk} \\ {X}_2(k)=\sum _{r=0}^{N/2-1}{x}_2(r)W_{N/2}^{rk}=\sum _{r=0}^{N/2-1}x(2r+1)W_{N/2}^{rk} \end{gathered}$$$X(k)$表达为2部分：$$\{\begin{array}{l}X(k)=X_1(k)+W_N^k{X}_2(k)\\ X(k+\frac{N}{2})=X_1(k)-W_N^k{X}_2(k)\end{array}k=0,1,...,\frac{N}{2}-$$