量子计算基础数学

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前言

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一、向量表示和向量运算

线性代数的基本对象是向量，而量子计算的基本单位是量子比特，量子比特用向量来描述。

注：两能级系统和量子比特
经典计算机：用逻辑电路中的高低电平表示 0、1；
量子计算机：用粒子所处的两种能级基态 $|g⟩$ 和激发态 $|e⟩$ 构成基本计算单元，用向量的方式表示为：

$$|g⟩=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right],|e⟩=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$$
和经典的比特类比，常将 $|g⟩$ 记做 $|1⟩$，将 $|e⟩$ 记做 $|0⟩$，并称之为量子比特（quantum bits）。

向量的表示

$$\left[\begin{array}{c}{z}_1\\ ⋮\\ z_n\end{array}\right]$$

向量的运算

• 加法：$$\left[\begin{array}{c}{z}_1\\ ⋮\\ z_n\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{z}_1^{{}^{\prime }}\\ ⋮\\ z_n^{{}^{\prime }}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{z}_1+z_1^{{}^{\prime }}\\ ⋮\\ z_n+z_n^{{}^{\prime }}\end{array}\right]$$

• 标量乘：$$z\left[\begin{array}{c}{z}_1\\ ⋮\\ z_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}z{z}_1\\ ⋮\\ z{z}_n\end{array}\right]$$

• 新的符号：狄拉克（Dirac）符号$|\psi ⟩$，这是量子力学和量子计算中最基础的符号，这个符号等价于向量。

在量子理论中，描述量子态的向量称为态矢，态矢分为左矢和右矢。
$$\begin{gathered} \text{右失（}ket\text{）：}|\psi ⟩={\left[\begin{array}{cccc}{c}_1& c_2& \cdots & c_n\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ ⋮\\ c_n\end{array}\right] \\ \text{左失（}bra\text{）：}⟨\psi |=\left[\begin{array}{cccc}{c}_1^{\ast }& c_2^{\ast }& \cdots & c_n^{\ast }\end{array}\right] \end{gathered}$$
在讨论同一个问题时，如果左矢和右矢在括号内的描述相同的话，那么这两个矢量互为转置共轭。

• 基：

对于一组向量 $|u_1⟩,\cdots ,|u_n$