CV：傅里叶变换

图像中的傅里叶变换主要指将图像从空间域转换到频域的过程。通过傅里叶变换，我们可以将图像看作是不同频率正弦波的叠加，这有助于分析图像的周期性特征、纹理和噪声等信息。

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主要概念

1. 频域表示

   • 幅值谱（Magnitude Spectrum）：反映了各个频率成分的能量或强度。低频部分一般对应图像中的整体轮廓和大致结构，高频部分则反映图像的边缘、细节和噪声。
   • 相位谱（Phase Spectrum）：包含了图像的空间位置信息，对于图像重构和结构保留至关重要。

2. 二维离散傅里叶变换 (DFT)
   对于一幅$M\times N$ 的灰度图像，二维傅里叶变换的公式为：

$$F(u,v)=\sum _{x=0}^{M-1}\sum _{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi \left(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N}\right)}$$

其中，$f(x,y)$ 为图像像素值，$F(u,v)$ 为频域表示。

3. 频谱中心化
   原始傅里叶变换得到的低频成分通常位于数组的四个角上。为了便于观察，我们常常使用傅里叶变换的移位（shift）操作，将低频成分移动到频谱图的中心。

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应用

• 滤波：
  在频域可以更方便地设计低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器等，进行图像去噪、平滑或边缘增强。

• 图像压缩：
  通过分析图像在频域中的能量分布，可以去除那些能量较低且对重构影响不大的频率成分，实现图像压缩。

• 特征提取与分析：
  一些图像的纹理和周期性特征在频域中更易于提取，用于图像识别和分类等任务。

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示例代码

下面是一个使用 OpenCV 进行二维傅里叶变换，并显示频谱图的简单示例：

import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 读取图像，并转换为灰度图
img = cv2.imread('test.jpg', cv2.IMREAD_GRAYSCALE)

# 将图像转换为浮点型，以便进行傅里叶变换
img_float = np.float32(img)

# 计算二维傅里叶变换（结果为复数）
dft = cv2.dft(img_float, flags=cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)

# 将低频部分移到中心
dft_shift = np.fft.fftshift(dft)

# 计算幅值谱，并取对数（为了便于显示较小的值）
magnitude_spectrum = 20 * np.log(cv2.magnitude(dft_shift[:, :, 0], dft_shift[:, :, 1]) + 1)

# 显示原图与幅值谱
plt.figure(figsize=(10, 5))

plt.subplot(121), plt.imshow(img, cmap='gray')
plt.title('Original Image'), plt.axis('off')

plt.subplot(122), plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap='gray')
plt.title('Magnitude Spectrum'), plt.axis('off')

plt.show()

在这段代码中：

• cv2.dft()：计算二维离散傅里叶变换。
• np.fft.fftshift()：将低频成分移到频谱中心。
• cv2.magnitude()：计算复数结果的幅值，再通过取对数将幅值谱映射到较宽的灰度范围，以便于观察细节。

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总结

图像的傅里叶变换将图像的空间信息转换为频域信息，使我们可以：

• 分析图像中的不同频率成分，
• 设计频域滤波器，
• 实现图像压缩和特征提取等任务。