动态规划双剑合璧：C++与Python征服洛谷三大经典DP问题
动态规划核心思想
状态定义 → 转移方程 → 边界处理 → 时空优化
本文精选洛谷动态规划题单中三大经典问题，通过C++与Python双语言对比实现，彻底掌握DP精髓！
题目一：P1048 采药（01背包模板）
题目描述
在限定时间T内采集草药，每株草药有采集时间time[i]和价值value[i]，求最大总价值。
解题思路
-
状态定义：
dp[j]表示时间j能获得的最大价值 -
转移方程：
dp[j] = max(dp[j], dp[j - time[i]] + value[i]) -
遍历顺序：逆序更新（保证每个物品只选一次）
代码实现
C++版（滚动数组优化）
#include
#include
using namespace std;
int main() {
int T, M;
cin >> T >> M;
vector dp(T + 1, 0);
for (int i = 0; i < M; ++i) {
int time, value;
cin >> time >> value;
for (int j = T; j >= time; --j) {
dp[j] = max(dp[j], dp[j - time] + value);
}
}
cout << dp[T];
return 0;
} Python版（空间压缩）
T, M = map(int, input().split())
dp = [0] * (T + 1)
for _ in range(M):
time, value = map(int, input().split())
for j in range(T, time - 1, -1):
dp[j] = max(dp[j], dp[j - time] + value)
print(dp[T])题目二：P1216 数字三角形（路径最大和）
题目描述
从数字三角形顶层到底层，每次只能向下或右下移动，求最大路径和。
解题思路
-
状态定义：
dp[i][j]表示第i行第j列的最大路径和 -
转移方程：
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1]) + triangle[i][j] -
空间优化：使用一维数组从底向上更新
代码实现
C++版（二维数组）
#include
#include
using namespace std;
int main() {
int n;
cin >> n;
vector> triangle(n, vector(n));
for (int i = 0; i < n; ++i)
for (int j = 0; j <= i; ++j)
cin >> triangle[i][j];
for (int i = n-2; i >= 0; --i)
for (int j = 0; j <= i; ++j)
triangle[i][j] += max(triangle[i+1][j], triangle[i+1][j+1]);
cout << triangle[0][0];
return 0;
} Python版（原地修改）
n = int(input())
triangle = []
for i in range(n):
triangle.append(list(map(int, input().split())))
for i in range(n-2, -1, -1):
for j in range(i+1):
triangle[i][j] += max(triangle[i+1][j], triangle[i+1][j+1])
print(triangle[0][0])题目三：P1002 过河卒（棋盘DP）
题目描述
棋盘上卒从(0,0)到(n,m)，马的位置(x,y)及其控制点不可经过，求路径总数。
解题思路
-
状态定义：
dp[i][j]表示到达(i,j)的路径数 -
转移方程：
dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] -
边界处理：标记马的控制点为障碍
代码实现
C++版（动态标记障碍）
#include
#include
using namespace std;
int dx[] = {0, -2, -1, 1, 2, 2, 1, -1, -2};
int dy[] = {0, 1, 2, 2, 1, -1, -2, -2, -1};
int main() {
int n, m, x, y;
cin >> n >> m >> x >> y;
vector> dp(n+1, vector(m+1, 0));
dp[0][0] = 1;
// 标记马的控制点
for (int i = 0; i < 9; ++i) {
int nx = x + dx[i], ny = y + dy[i];
if (nx >=0 && ny >=0 && nx <=n && ny <=m)
dp[nx][ny] = -1;
}
for (int i = 0; i <= n; ++i) {
for (int j = 0; j <= m; ++j) {
if (dp[i][j] == -1) continue;
if (i > 0 && dp[i-1][j] != -1) dp[i][j] += dp[i-1][j];
if (j > 0 && dp[i][j-1] != -1) dp[i][j] += dp[i][j-1];
}
}
cout << (dp[n][m] == -1 ? 0 : dp[n][m]);
return 0;
} Python版（记忆化递推）
n, m, x, y = map(int, input().split())
dp = [[0]*(m+1) for _ in range(n+1)]
dp[0][0] = 1
directions = [(0,0), (-2,1), (-1,2), (1,2), (2,1), (2,-1), (1,-2), (-1,-2), (-2,-1)]
# 标记障碍
for dx, dy in directions:
nx, ny = x + dx, y + dy
if 0 <= nx <= n and 0 <= ny <= m:
dp[nx][ny] = -1
for i in range(n+1):
for j in range(m+1):
if dp[i][j] == -1:
continue
if i > 0 and dp[i-1][j] != -1:
dp[i][j] += dp[i-1][j]
if j > 0 and dp[i][j-1] != -1:
dp[i][j] += dp[i][j-1]
print(dp[n][m] if dp[n][m] != -1 else 0)动态规划四步心法
-
定义状态：明确
dp[i][j]的含义 -
转移方程：找出状态间的关系式
-
初始化：处理好边界条件
-
遍历顺序：确保计算顺序正确
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